ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

По формуле приведения $\cos (x+\pi )=-\cos x$: поворот на $\pi$ переводит точку окружности в диаметрально противоположную, и абсцисса меняет знак. По основному тригонометрическому тождеству ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$. Подставим:

$$2\left(1-{\cos }^{2}x\right)-\sqrt{2}\cos x-2=0\iff -2{\cos }^{2}x-\sqrt{2}\cos x=0.$$

Умножим на $-1$ и вынесем $\cos x$ за скобки:

$$\cos x\left(2\cos x+\sqrt{2}\right)=0\iff [\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$. Абсцисса $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ отвечает точкам $\frac{3\pi }{4}$ (II четверть) и $-\frac{3\pi }{4}$ (III четверть), поэтому из второго уравнения $x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[-\frac{5\pi }{2};-\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на окружности. Начало $-\frac{5\pi }{2}=-2\pi -\frac{\pi }{2}$ — нижняя точка, конец $-\pi$ — левая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через IV, I и II четверти.

Серия $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ — верхняя и нижняя точки: нижняя совпадает с началом дуги, верхняя лежит внутри неё. Точка $\frac{3\pi }{4}$ из II четверти на дуге лежит, точка $-\frac{3\pi }{4}$ из III четверти — нет.

Переведём точки в числа отрезка. Нижней точке соответствует $-\frac{5\pi }{2}$, верхней — $-2\pi +\frac{\pi }{2}=-\frac{3\pi }{2}$; соседние значения серии $-\frac{7\pi }{2}<-\frac{5\pi }{2}$ и $-\frac{\pi }{2}>-\pi$ вне отрезка.

Точке II четверти соответствует $-2\pi +\frac{3\pi }{4}=-\frac{5\pi }{4}$; соседние значения $-\frac{13\pi }{4}<-\frac{10\pi }{4}=-\frac{5\pi }{2}$ и $\frac{3\pi }{4}>-\pi$.

Серия $x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{11\pi }{4}<-\frac{10\pi }{4}=-\frac{5\pi }{2}$, а следующее значение $-\frac{3\pi }{4}>-\pi$.

На отрезке лежат $-\frac{5\pi }{2}$, $-\frac{3\pi }{2}$, $-\frac{5\pi }{4}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$; $\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{5\pi }{2}$; $-\frac{3\pi }{2}$; $-\frac{5\pi }{4}$.