ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) По формуле приведения $\cos \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=-\sin x$: угол отсчитывается от $\frac{\pi }{2}$, поэтому косинус меняется на синус, а при малых $x>0$ угол $\frac{\pi }{2}+x$ лежит во II четверти, где косинус отрицателен.

Найдём ОДЗ: знаменатель не равен нулю, то есть $-\sin x\ne 0$, или $\sin x\ne 0$.

По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Уравнение принимает вид

$$\frac{2\sin x\cos x}{-\sin x}=\sqrt{3}.$$

На ОДЗ $\sin x\ne 0$, поэтому дробь можно сократить на $\sin x$. Уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}-2\cos x=\sqrt{3},\\ \sin x\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2},\\ \sin x\ne 0.\end{array}$$

Если $\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, то ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$, то есть $\sin x=\pm \frac{1}{2}\ne 0$. Значит, условие $\sin x\ne 0$ выполняется автоматически.

Абсцисса $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ отвечает точкам $\frac{5\pi }{6}$ и $-\frac{5\pi }{6}$, поэтому

$$x=\pm \frac{5\pi }{6}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни с помощью двойных неравенств: подставим каждую серию в условие $-\frac{5\pi }{2}⩽x⩽-\pi$.

Для серии $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n$ разделим неравенство на $\pi$, вычтем $\frac{5}{6}$ и разделим на 2:

$$-\frac{5}{2}⩽\frac{5}{6}+2n⩽-1\iff -\frac{10}{3}⩽2n⩽-\frac{11}{6}\iff -\frac{5}{3}⩽n⩽-\frac{11}{12}.$$

Единственное целое значение $n=-1$, ему соответствует $x=\frac{5\pi }{6}-2\pi =-\frac{7\pi }{6}$.

Для серии $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi n$ действуем так же:

$$-\frac{5}{2}⩽-\frac{5}{6}+2n⩽-1\iff -\frac{5}{3}⩽2n⩽-\frac{1}{6}\iff -\frac{5}{6}⩽n⩽-\frac{1}{12}.$$

На этом промежутке целых чисел нет, поэтому серия корней на отрезке не даёт.

Ответ: а) $\pm \frac{5\pi }{6}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{7\pi }{6}$.