ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и показательные выражения

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

По основному тригонометрическому тождеству ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$. Тогда по свойствам степени

$$2^{{\cos }^{2}x}=2^{1-{\sin }^{2}x}=2\cdot 2^{-{\sin }^{2}x}=\frac{2}{2^{{\sin }^{2}x}}.$$

Уравнение принимает вид

$$2^{{\sin }^{2}x}+\frac{2}{2^{{\sin }^{2}x}}=3.$$

Сделаем замену $t=2^{{\sin }^{2}x}$. Так как $0⩽{\sin }^{2}x⩽1$, а функция $y=2^u$ возрастает, получаем $1⩽t⩽2$; в частности, $t\ne 0$. Уравнение относительно $t$:

$$t+\frac{2}{t}=3.$$

Умножим обе части на $t\ne 0$ — это равносильный переход:

$$t^2-3t+2=0.$$

По теореме, обратной теореме Виета, корни — числа, сумма которых равна 3, а произведение 2: это $t_1=1$ и $t_2=2$. Оба значения удовлетворяют условию $1⩽t⩽2$.

Сделаем обратную замену.

Если $2^{{\sin }^{2}x}=1=2^0$, то в силу монотонности показательной функции ${\sin }^{2}x=0$, то есть $\sin x=0$ и $x=\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Если $2^{{\sin }^{2}x}=2=2^1$, то ${\sin }^{2}x=1$, то есть $\sin x=\pm 1$ и $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Заметим, что вместе эти серии дают все точки окружности, лежащие на осях координат, то есть $x=\frac{\pi k}{2}$.

б) Отберём корни с помощью двойных неравенств: подставим каждую серию в условие $-\frac{5\pi }{2}⩽x⩽-\pi$ и найдём подходящие целые $k$.

Для серии $x=\pi k$ разделим неравенство на $\pi >0$:

$$-\frac{5}{2}⩽k⩽-1\Rightarrow k=-2;-1\Rightarrow x=-2\pi ;-\pi .$$

Для серии $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ разделим на $\pi$ и вычтем $\frac{1}{2}$:

$$-\frac{5}{2}⩽\frac{1}{2}+k⩽-1\iff -3⩽k⩽-\frac{3}{2}\Rightarrow k=-3;-2\Rightarrow x=-\frac{5\pi }{2};-\frac{3\pi }{2}.$$

Ответ: а) $\pi k$; $\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{5\pi }{2}$; $-2\pi$; $-\frac{3\pi }{2}$; $-\pi$.