ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и логарифмы

Разбор — 2 балла

а) Найдём ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положительным:

$$\cos 2x>0.$$

Приведём логарифм в правой части к основанию 4. Так как $\frac{1}{16}=4^{-2}$, по свойству ${\log }_{a^p}b=\frac{1}{p}{\log }_{a}b$ получаем

$${\log }_{\frac{1}{16}}(\cos 2x)={\log }_{4^{-2}}(\cos 2x)=-\frac{1}{2}{\log }_4(\cos 2x).$$

Уравнение на ОДЗ принимает вид

$${\log }_4^2(\cos 2x)=-\frac{1}{2}{\log }_4(\cos 2x).$$

Сделаем замену $t={\log }_4(\cos 2x)$:

$$t^2+\frac{1}{2}t=0\iff t\left(t+\frac{1}{2}\right)=0\iff [\begin{array}{l}t=0,\\ t=-\frac{1}{2}.\end{array}$$

Сделаем обратную замену и воспользуемся определением логарифма:

$$[\begin{array}{l}{\log }_4(\cos 2x)=0,\\ {\log }_4(\cos 2x)=-\frac{1}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}\cos 2x=4^0=1,\\ \cos 2x=4^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}.\end{array}$$

Оба значения $\cos 2x$ положительны, поэтому условие ОДЗ $\cos 2x>0$ выполняется автоматически.

Из уравнения $\cos 2x=1$ получаем $2x=2\pi k$, то есть $x=\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Из уравнения $\cos 2x=\frac{1}{2}$ получаем $2x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k$, то есть $x=\pm \frac{\pi }{6}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[3\pi ;\frac{9\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на окружности. Начало $3\pi =2\pi +\pi$ — левая точка, конец $\frac{9\pi }{2}=4\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через III, IV и I четверти.

Серия $x=\pi k$ — левая и правая точки: левая совпадает с началом дуги, правая лежит внутри неё. Серия $x=\frac{\pi }{6}+\pi k$ даёт две диаметрально противоположные точки — в I четверти ($\frac{\pi }{6}$) и в III четверти ($\frac{7\pi }{6}$); обе на дуге. Серия $x=-\frac{\pi }{6}+\pi k$ даёт точки в IV четверти ($-\frac{\pi }{6}$) и во II четверти ($\frac{5\pi }{6}$); на дуге только точка IV четверти.

Переведём точки в числа отрезка, двигаясь от его начала:

• левая точка — $3\pi$, правая — $4\pi$; соседние значения $2\pi <3\pi$ и $5\pi >\frac{9\pi }{2}$;
• из серии $x=\frac{\pi }{6}+\pi k$: точка III четверти — $3\pi +\frac{\pi }{6}=\frac{19\pi }{6}$, точка I четверти — $4\pi +\frac{\pi }{6}=\frac{25\pi }{6}$; соседние значения $\frac{13\pi }{6}<3\pi$ и $\frac{31\pi }{6}>\frac{27\pi }{6}=\frac{9\pi }{2}$;
• из серии $x=-\frac{\pi }{6}+\pi k$: точка IV четверти — $4\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{23\pi }{6}$; соседние значения $\frac{17\pi }{6}<\frac{18\pi }{6}=3\pi$ и $\frac{29\pi }{6}>\frac{27\pi }{6}$.

На отрезке лежат $3\pi$, $\frac{19\pi }{6}$, $\frac{23\pi }{6}$, $4\pi$, $\frac{25\pi }{6}$.

Ответ: а) $\pi k$; $\pm \frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $3\pi$; $\frac{19\pi }{6}$; $\frac{23\pi }{6}$; $4\pi$; $\frac{25\pi }{6}$.