ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Поэтому уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}3\cos 2x-5\sqrt{2}\cos x+5=0,\\ 9{\sin }^{2}x-7\ne 0.\end{array}$$

Решим уравнение системы. По формуле косинуса двойного угла $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$:

$$3\left(2{\cos }^{2}x-1\right)-5\sqrt{2}\cos x+5=0\iff 6{\cos }^{2}x-5\sqrt{2}\cos x+2=0.$$

Сделаем замену $t=\cos x$, где $-1⩽t⩽1$:

$$6t^2-5\sqrt{2}t+2=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D={\left(5\sqrt{2}\right)}^2-4\cdot 6\cdot 2=50-48=2.$$

Тогда

$$t_{1,2}=\frac{5\sqrt{2}\pm \sqrt{2}}{12},t_1=\frac{6\sqrt{2}}{12}=\frac{\sqrt{2}}{2},t_2=\frac{4\sqrt{2}}{12}=\frac{\sqrt{2}}{3}.$$

Оба значения лежат на отрезке $[-1;1]$, поэтому $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ или $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{3}$.

Теперь учтём условие на знаменатель. Выразим его через косинус с помощью основного тригонометрического тождества ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$:

$$9\left(1-{\cos }^{2}x\right)-7\ne 0\iff 2-9{\cos }^{2}x\ne 0\iff {\cos }^{2}x\ne \frac{2}{9}\iff \cos x\ne \pm \frac{\sqrt{2}}{3}.$$

Значит, случай $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{3}$ обращает знаменатель в ноль и не подходит. Для $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ имеем ${\cos }^{2}x=\frac{1}{2}\ne \frac{2}{9}$ — условие выполнено. Получаем

$$x=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[4\pi ;\frac{11\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на окружности. Начало $4\pi$ — правая точка, конец $\frac{11\pi }{2}=4\pi +\frac{3\pi }{2}$ — нижняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через I, II и III четверти. Точка $\frac{\pi }{4}$ из I четверти на ней лежит, а точка $-\frac{\pi }{4}$ из IV четверти — нет.

Из серии $x=\frac{\pi }{4}+2\pi k$ на отрезок попадает только $4\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{17\pi }{4}$: соседние значения $\frac{9\pi }{4}<4\pi$ и $\frac{25\pi }{4}>\frac{22\pi }{4}=\frac{11\pi }{2}$.

Серия $x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k$ отрезок пропускает: $\frac{15\pi }{4}<\frac{16\pi }{4}=4\pi$, а следующее значение $\frac{23\pi }{4}>\frac{22\pi }{4}=\frac{11\pi }{2}$.

На отрезке лежит $\frac{17\pi }{4}$.

Ответ: а) $\pm \frac{\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{17\pi }{4}$.