ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и показательные выражения

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Запишем левую часть как степень числа 7: $\frac{1}{49}=7^{-2}$, поэтому

$${\left(\frac{1}{49}\right)}^{\sin x}={\left(7^{-2}\right)}^{\sin x}=7^{-2\sin x}.$$

Уравнение принимает вид $7^{-2\sin x}=7^{2\sin 2x}$. Функция $y=7^u$ монотонна, поэтому степени с одинаковым основанием равны только при равных показателях:

$$-2\sin x=2\sin 2x\iff \sin 2x+\sin x=0.$$

По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Вынесем $\sin x$ за скобки:

$$2\sin x\cos x+\sin x=0\iff \sin x\left(2\cos x+1\right)=0\iff [\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \cos x=-\frac{1}{2}.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$. Абсцисса $-\frac{1}{2}$ отвечает точкам $\frac{2\pi }{3}$ (II четверть) и $-\frac{2\pi }{3}$ (III четверть), поэтому из второго уравнения $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[\frac{3\pi }{2};3\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на единичной окружности. Начало $\frac{3\pi }{2}$ — нижняя точка, конец $3\pi =2\pi +\pi$ — левая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через IV, I и II четверти.

Серия $x=\pi k$ — это правая и левая точки окружности: правая лежит внутри дуги, левая совпадает с её концом. Из серии $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k$ на дугу попадает точка $\frac{2\pi }{3}$ из II четверти, а точка $-\frac{2\pi }{3}$ из III четверти не попадает.

Переведём отмеченные точки в числа отрезка. Правой точке соответствует $2\pi$, левой — $3\pi$; соседние значения серии $\pi <\frac{3\pi }{2}$ и $4\pi >3\pi$ вне отрезка.

Точке II четверти соответствует $2\pi +\frac{2\pi }{3}=\frac{8\pi }{3}$; соседние значения $\frac{2\pi }{3}<\frac{3\pi }{2}$ и $\frac{14\pi }{3}>3\pi$.

Серия $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ отрезок пропускает: $\frac{4\pi }{3}=\frac{8\pi }{6}<\frac{9\pi }{6}=\frac{3\pi }{2}$, а следующее значение $\frac{10\pi }{3}>3\pi$.

На отрезке лежат $2\pi$, $\frac{8\pi }{3}$, $3\pi$.

Ответ: а) $\pi k$; $\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $2\pi$; $\frac{8\pi }{3}$; $3\pi$.