ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — показательные уравнения

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Приведём все степени к одному показателю $x+1$. По свойствам степени

$$6^{x+1}=(3\cdot 2{)}^{x+1}=3^{x+1}\cdot 2^{x+1},8\cdot 2^{2x}=8\cdot 4^x=2\cdot 4\cdot 4^x=2\cdot 4^{x+1}.$$

Уравнение принимает вид

$$3\cdot 9^{x+1}-5\cdot 3^{x+1}\cdot 2^{x+1}+2\cdot 4^{x+1}=0.$$

Заметим, что $9^{x+1}={\left(3^{x+1}\right)}^2$ и $4^{x+1}={\left(2^{x+1}\right)}^2$, а среднее слагаемое содержит произведение $3^{x+1}\cdot 2^{x+1}$. Это однородное уравнение второй степени. Разделим обе его части на $4^{x+1}$. Так как $4^{x+1}>0$ при всех $x$, деление равносильно:

$$3\cdot {\left(\frac{9}{4}\right)}^{x+1}-5\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^{x+1}+2=0.$$

Поскольку ${\left(\frac{9}{4}\right)}^{x+1}={\left({\left(\frac{3}{2}\right)}^{x+1}\right)}^2$, сделаем замену $t={\left(\frac{3}{2}\right)}^{x+1}$. Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $t>0$. Получаем квадратное уравнение

$$3t^2-5t+2=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-5{)}^2-4\cdot 3\cdot 2=25-24=1.$$

Тогда

$$t_1=\frac{5-1}{6}=\frac{2}{3},t_2=\frac{5+1}{6}=1.$$

Оба значения положительны, значит, оба подходят. Сделаем обратную замену и запишем правые части как степени числа $\frac{3}{2}$:

$$[\begin{array}{l}{\left(\frac{3}{2}\right)}^{x+1}=1={\left(\frac{3}{2}\right)}^0,\\ {\left(\frac{3}{2}\right)}^{x+1}=\frac{2}{3}={\left(\frac{3}{2}\right)}^{-1}.\end{array}$$

Функция $y={\left(\frac{3}{2}\right)}^u$ монотонна, поэтому степени с одинаковым основанием равны только при равных показателях:

$$[\begin{array}{l}x+1=0,\\ x+1=-1\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=-1,\\ x=-2.\end{array}$$

б) Сравним корни с концами отрезка $\left[-\frac{\pi }{2};\pi \right]$. Так как $3<\pi <4$, то $\frac{3}{2}<\frac{\pi }{2}<2$, а значит,

$$-2<-\frac{\pi }{2}<-\frac{3}{2}<-1<\pi .$$

Корень $x=-2$ меньше левого конца $-\frac{\pi }{2}$ и на отрезок не попадает. Корень $x=-1$ лежит между $-\frac{\pi }{2}$ и $\pi$, то есть принадлежит отрезку.

Ответ: а) $-2$; $-1$; б) $-1$.