ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Сгруппируем первое и третье слагаемые и вынесем из них общий множитель $\sin x$:

$$\sin x\left(\cos 2x+1\right)+\sqrt{2}{\cos }^{2}x=0.$$

По формуле косинуса двойного угла $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$, поэтому скобка упрощается: $\cos 2x+1=2{\cos }^{2}x$. Получаем

$$2\sin x{\cos }^{2}x+\sqrt{2}{\cos }^{2}x=0\iff {\cos }^{2}x\left(2\sin x+\sqrt{2}\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю (оба множителя определены при всех $x$):

$$[\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$ — это верхняя и нижняя точки окружности.

Во втором уравнении ордината $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ отвечает двум точкам окружности: в IV четверти (угол $-\frac{\pi }{4}$) и в III четверти (угол $-\frac{3\pi }{4}$). Поэтому $x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k$ или $x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[\frac{3\pi }{2};3\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $\frac{3\pi }{2}$ — нижняя точка окружности, конец $3\pi =2\pi +\pi$ — левая точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим IV, I и II четверти. На эту дугу попадают нижняя точка (начало отрезка), верхняя точка и точка $-\frac{\pi }{4}$ из IV четверти. Точка $-\frac{3\pi }{4}$ из III четверти на дуге не лежит.

Из серии $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ на отрезок попадают $\frac{3\pi }{2}$ и $\frac{5\pi }{2}$: соседние значения $\frac{\pi }{2}<\frac{3\pi }{2}$ и $\frac{7\pi }{2}>3\pi$ лежат вне отрезка.

Из серии $x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k$ на отрезок попадает только $2\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{7\pi }{4}$: соседние значения $-\frac{\pi }{4}<\frac{3\pi }{2}$ и $\frac{15\pi }{4}>3\pi$.

Серия $x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k$ отрезок пропускает: $\frac{5\pi }{4}<\frac{6\pi }{4}=\frac{3\pi }{2}$, а следующее значение $\frac{13\pi }{4}>\frac{12\pi }{4}=3\pi$.

На отрезке лежат $\frac{3\pi }{2}$, $\frac{7\pi }{4}$, $\frac{5\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$; $-\frac{\pi }{4}+2\pi k$; $-\frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{3\pi }{2}$; $\frac{7\pi }{4}$; $\frac{5\pi }{2}$.