ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Тангенс определён при $\cos x\ne 0$, поэтому ОДЗ: $x\ne \frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$.

Сделаем замену $t=\mathrm{tg}x$; тангенс принимает любые действительные значения, поэтому ограничений на $t$ нет:

$$\sqrt{3}{t}^2-4t+\sqrt{3}=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-4{)}^2-4\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=16-12=4=2^2.$$

Тогда

$$t_1=\frac{4-2}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3},t_2=\frac{4+2}{2\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}.$$

Сделаем обратную замену и решим простейшие уравнения:

$$[\begin{array}{l}\mathrm{tg}x=\frac{\sqrt{3}}{3},\\ \mathrm{tg}x=\sqrt{3}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+\pi k,\\ x=\frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

В найденных точках тангенс определён, поэтому ОДЗ выполнена.

б) Отрезок $\left[\pi ;\frac{5\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на единичной окружности. Начало $\pi$ — левая точка, конец $\frac{5\pi }{2}=2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит III, IV и I четверти.

Каждая серия даёт по две диаметрально противоположные точки: $\frac{\pi }{6}$ и $\frac{7\pi }{6}$, $\frac{\pi }{3}$ и $\frac{4\pi }{3}$. Точки III четверти и точки I четверти лежат на дуге — все четыре точки подходят.

Из серии $x=\frac{\pi }{6}+\pi k$ на отрезок попадают $\pi +\frac{\pi }{6}=\frac{7\pi }{6}$ и $2\pi +\frac{\pi }{6}=\frac{13\pi }{6}$: соседние значения $\frac{\pi }{6}<\pi$ и $\frac{19\pi }{6}>\frac{15\pi }{6}=\frac{5\pi }{2}$.

Из серии $x=\frac{\pi }{3}+\pi k$ на отрезок попадают $\pi +\frac{\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}$ и $2\pi +\frac{\pi }{3}=\frac{7\pi }{3}$ (проверка: $\frac{7\pi }{3}=\frac{14\pi }{6}<\frac{15\pi }{6}$): соседние значения $\frac{\pi }{3}<\pi$ и $\frac{10\pi }{3}>\frac{5\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{6}+\pi k$, $\frac{\pi }{3}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{7\pi }{6}$; $\frac{4\pi }{3}$; $\frac{13\pi }{6}$; $\frac{7\pi }{3}$.