ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — показательные уравнения

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Приведём все степени к основанию 2 по свойствам ${\left(a^n\right)}^m=a^{nm}$ и $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$:

$$8^x={\left(2^3\right)}^x=2^{3x};2^{x+2}=2^2\cdot 2^x=4\cdot 2^x;2^{5-x}=2^5\cdot 2^{-x}=32\cdot 2^{-x}.$$

Уравнение принимает вид

$$2^{3x}-12\cdot 2^x+32\cdot 2^{-x}=0.$$

Умножим обе части на $2^x$. Так как $2^x>0$, это равносильный переход:

$$2^{4x}-12\cdot 2^{2x}+32=0.$$

Сделаем замену $t=2^{2x}$, где $t>0$, так как показательная функция положительна:

$$t^2-12t+32=0.$$

По теореме, обратной теореме Виета, ищем два числа с суммой $12$ и произведением $32$: это $4$ и $8$. Оба положительны и подходят. Сделаем обратную замену:

$$[\begin{array}{l}{2}^{2x}=4=2^2,\\ 2^{2x}=8=2^3.\end{array}$$

Функция $y=2^u$ монотонна, поэтому показатели равны:

$$[\begin{array}{l}2x=2,\\ 2x=3\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=1,\\ x=\frac{3}{2}.\end{array}$$

б) Сравним корни с концами отрезка $\left[{\log }_{4}5;\sqrt{3}\right]$. Логарифм по основанию $4>1$ возрастает.

Корень $x=1$: $1={\log }_{4}4<{\log }_{4}5$, то есть он лежит левее отрезка и не подходит.

Корень $x=\frac{3}{2}$. Запишем его как логарифм: $\frac{3}{2}={\log }_4{4}^{\frac{3}{2}}={\log }_{4}8$, так как $4^{\frac{3}{2}}={\left(\sqrt{4}\right)}^3=8$. Поскольку $8>5$, получаем $\frac{3}{2}={\log }_{4}8>{\log }_{4}5$ — левый конец не нарушен.

Сравним $\frac{3}{2}$ с правым концом $\sqrt{3}$. Оба числа положительны, поэтому можно сравнить их квадраты: ${\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}<3={\left(\sqrt{3}\right)}^2$, ведь $9<12$. Значит, $\frac{3}{2}<\sqrt{3}$, и корень $\frac{3}{2}$ лежит на отрезке.

Ответ: а) $1$; $\frac{3}{2}$; б) $\frac{3}{2}$.