ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$. По формуле приведения $\sin (x+\pi )=-\sin x$: название функции не меняется, а при малых $x>0$ угол $x+\pi$ лежит в III четверти, где синус отрицателен.

Уравнение принимает вид

$$2\sin x\cos x-\sqrt{2}\sin x=0.$$

Делить на $\sin x$ нельзя — потеряются корни, поэтому вынесем $\sin x$ за скобки. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$\sin x\left(2\cos x-\sqrt{2}\right)=0\iff [\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\pi k$, из второго $x=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[\frac{7\pi }{2};5\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на единичной окружности. Начало $\frac{7\pi }{2}=4\pi -\frac{\pi }{2}$ — нижняя точка, конец $5\pi =4\pi +\pi$ — левая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит IV, I и II четверти.

Серия $x=\pi k$ даёт правую точку (лежит на дуге) и левую точку (конец дуги). Точка $-\frac{\pi }{4}$ из IV четверти и точка $\frac{\pi }{4}$ из I четверти тоже лежат на дуге. Всего на дуге четыре точки решения.

Найдём соответствующие числа и проверим соседние значения каждой серии.

Из серии $x=\pi k$ на отрезок попадают $4\pi$ и $5\pi$: соседние значения $3\pi <\frac{7\pi }{2}$ и $6\pi >5\pi$.

Из серии $x=\frac{\pi }{4}+2\pi k$ на отрезок попадает только $4\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{17\pi }{4}$: соседние значения $\frac{9\pi }{4}<\frac{14\pi }{4}=\frac{7\pi }{2}$ и $\frac{25\pi }{4}>\frac{20\pi }{4}=5\pi$.

Из серии $x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k$ на отрезок попадает только $4\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{15\pi }{4}$: соседние значения $\frac{7\pi }{4}<\frac{7\pi }{2}$ и $\frac{23\pi }{4}>5\pi$.

Ответ: а) $\pi k$, $\pm \frac{\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{15\pi }{4}$; $4\pi$; $\frac{17\pi }{4}$; $5\pi$.