ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

По формуле косинуса разности

$$2\sqrt{2}\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=2\sqrt{2}\left(\cos x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\sin x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)=2\left(\sin x+\cos x\right).$$

Уравнение принимает вид

$$\sin 2x+2\left(\sin x+\cos x\right)+1=0.$$

Сделаем замену $t=\sin x+\cos x$. Выразим через $t$ синус двойного угла: по формуле квадрата суммы и основному тригонометрическому тождеству

$$t^2={\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=1+\sin 2x\Rightarrow \sin 2x=t^2-1.$$

Найдём, какие значения может принимать $t$. Из выкладки выше $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$, а косинус лежит в пределах от $-1$ до $1$, поэтому $-\sqrt{2}⩽t⩽\sqrt{2}$.

Подставим в уравнение:

$$t^2-1+2t+1=0\iff t^2+2t=0\iff t(t+2)=0\iff [\begin{array}{l}t=0,\\ t=-2.\end{array}$$

Значение $t=-2$ не подходит, так как $-2<-\sqrt{2}$. Остаётся

$$\sin x+\cos x=0.$$

Это однородное уравнение первой степени. Если $\cos x=0$, то из него и $\sin x=0$, что невозможно, так как ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Значит, $\cos x\ne 0$, и обе части можно разделить на $\cos x$:

$$\mathrm{tg}x+1=0\iff \mathrm{tg}x=-1\iff x=-\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[-\frac{15\pi }{2};-6\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-\frac{15\pi }{2}=-8\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка, конец $-6\pi$ — правая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит II, III и IV четверти.

Серия $x=-\frac{\pi }{4}+\pi k$ даёт две точки: $\frac{3\pi }{4}$ во II четверти и $-\frac{\pi }{4}$ в IV четверти. Обе лежат на дуге.

Точке II четверти соответствует число $-8\pi +\frac{3\pi }{4}=-\frac{29\pi }{4}$, точке IV четверти — число $-6\pi -\frac{\pi }{4}=-\frac{25\pi }{4}$. Проверим: $-\frac{29\pi }{4}>-\frac{30\pi }{4}=-\frac{15\pi }{2}$ и $-\frac{25\pi }{4}<-\frac{24\pi }{4}=-6\pi$. Соседние значения серии $-\frac{33\pi }{4}<-\frac{15\pi }{2}$ и $-\frac{21\pi }{4}>-6\pi$ вне отрезка.

Ответ: а) $-\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{29\pi }{4}$; $-\frac{25\pi }{4}$.