ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и показательные выражения

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Приведём обе части к основанию 7 по свойству степени ${\left(a^n\right)}^m=a^{nm}$. Так как $49=7^2$ и $\frac{1}{7}=7^{-1}$,

$$49^{\sin x}={\left(7^2\right)}^{\sin x}=7^{2\sin x},{\left(\frac{1}{7}\right)}^{-\sqrt{2}\sin 2x}={\left(7^{-1}\right)}^{-\sqrt{2}\sin 2x}=7^{\sqrt{2}\sin 2x}.$$

Уравнение принимает вид

$$7^{2\sin x}=7^{\sqrt{2}\sin 2x}.$$

Функция $y=7^u$ монотонна, поэтому степени с одинаковым основанием равны только при равных показателях:

$$2\sin x=\sqrt{2}\sin 2x.$$

Распишем синус двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$ и перенесём всё в левую часть. Делить на $\sin x$ нельзя — потеряются корни, поэтому вынесем $2\sin x$ за скобки:

$$2\sin x-2\sqrt{2}\sin x\cos x=0\iff 2\sin x\left(1-\sqrt{2}\cos x\right)=0\iff [\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\pi k$, из второго $x=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[2\pi ;\frac{7\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на единичной окружности. Начало $2\pi$ — правая точка, конец $\frac{7\pi }{2}=2\pi +\frac{3\pi }{2}$ — нижняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит I, II и III четверти.

Серия $x=\pi k$ даёт правую точку (начало дуги) и левую точку (лежит на дуге). Точка $\frac{\pi }{4}$ из I четверти на дуге, а точка $-\frac{\pi }{4}$ из IV четверти — нет.

Из серии $x=\pi k$ на отрезок попадают $2\pi$ и $3\pi$: соседние значения $\pi <2\pi$ и $4\pi >\frac{7\pi }{2}$.

Из серии $x=\frac{\pi }{4}+2\pi k$ на отрезок попадает только $2\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{9\pi }{4}$: соседние значения $\frac{\pi }{4}<2\pi$ и $\frac{17\pi }{4}>\frac{14\pi }{4}=\frac{7\pi }{2}$.

Серия $x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k$ отрезок пропускает: $\frac{7\pi }{4}<2\pi$, а следующее значение $\frac{15\pi }{4}>\frac{14\pi }{4}=\frac{7\pi }{2}$.

Ответ: а) $\pi k$, $\pm \frac{\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $2\pi$; $\frac{9\pi }{4}$; $3\pi$.