ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

По формуле косинуса разности $\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$:

$$2\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=2\left(\cos x\cos \frac{\pi }{4}+\sin x\sin \frac{\pi }{4}\right)=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos x+\sin x\right)=\sqrt{2}\cos x+\sqrt{2}\sin x.$$

По формуле приведения $\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=\cos x$: угол $\frac{\pi }{2}$ отсчитывается от вертикальной оси, поэтому синус меняется на косинус, а при малых $x>0$ угол $\frac{\pi }{2}+x$ лежит во II четверти, где синус положителен.

Подставим в уравнение:

$$\sqrt{2}\cos x+\sqrt{2}\sin x-2\sqrt{2}\cos x=0\iff \sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}\cos x=0\iff \sin x-\cos x=0.$$

Это однородное уравнение первой степени. Если $\cos x=0$, то из него и $\sin x=0$, что невозможно, так как ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Значит, $\cos x\ne 0$, и обе части можно разделить на $\cos x$:

$$\mathrm{tg}x-1=0\iff \mathrm{tg}x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[-\frac{17\pi }{2};-7\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-\frac{17\pi }{2}=-8\pi -\frac{\pi }{2}$ — нижняя точка, конец $-7\pi =-8\pi +\pi$ — левая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит IV, I и II четверти.

Серия $x=\frac{\pi }{4}+\pi k$ даёт две точки: $\frac{\pi }{4}$ в I четверти и $\frac{5\pi }{4}$ в III четверти. На дугу попадает только точка I четверти.

Ей соответствует число $-8\pi +\frac{\pi }{4}=-\frac{31\pi }{4}$. Соседние значения серии $-\frac{35\pi }{4}<-\frac{34\pi }{4}=-\frac{17\pi }{2}$ и $-\frac{27\pi }{4}>-\frac{28\pi }{4}=-7\pi$ вне отрезка.

Ответ: а) $\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{31\pi }{4}$.