ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Упростим корень: $\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}$. По формуле синуса суммы

$$\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin x\cos \frac{\pi }{3}+\cos x\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x.$$

Раскроем скобки в первом слагаемом левой части:

$$8\cos x\left(\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)=4\sin x\cos x+4\sqrt{3}{\cos }^{2}x.$$

Тогда левая часть уравнения равна

$$4\sin x\cos x+4\sqrt{3}{\cos }^{2}x+4\sqrt{3}{\sin }^{2}x=4\sin x\cos x+4\sqrt{3}\left({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x\right)=2\sin 2x+4\sqrt{3}.$$

Здесь мы применили основное тригонометрическое тождество ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ и формулу синуса двойного угла: $4\sin x\cos x=2\cdot 2\sin x\cos x=2\sin 2x$.

Уравнение принимает вид

$$2\sin 2x+4\sqrt{3}=9\sqrt{3}-8\sin 2x\iff 10\sin 2x=5\sqrt{3}\iff \sin 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Решим простейшее уравнение. Синус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$ в точках $\frac{\pi }{3}$ и $\frac{2\pi }{3}$ единичной окружности:

$$[\begin{array}{l}2x=\frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ 2x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+\pi k,\\ x=\frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

б) Отрезок $\left[\frac{11\pi }{4};\frac{17\pi }{4}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на единичной окружности. Начало $\frac{11\pi }{4}=2\pi +\frac{3\pi }{4}$ изображается точкой II четверти (как $\frac{3\pi }{4}$), конец $\frac{17\pi }{4}=4\pi +\frac{\pi }{4}$ — точкой I четверти (как $\frac{\pi }{4}$). Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит III и IV четверти и заканчивается в I четверти на угле $\frac{\pi }{4}$.

Серия $x=\frac{\pi }{6}+\pi k$ даёт точки $\frac{\pi }{6}$ и $\frac{7\pi }{6}$: обе на дуге, так как $\frac{\pi }{6}<\frac{\pi }{4}$. Серия $x=\frac{\pi }{3}+\pi k$ даёт точки $\frac{\pi }{3}$ и $\frac{4\pi }{3}$: точка $\frac{4\pi }{3}$ на дуге, а $\frac{\pi }{3}>\frac{\pi }{4}$ лежит за её концом.

Из серии $x=\frac{\pi }{6}+\pi k$ на отрезок попадают $2\pi +\frac{7\pi }{6}=\frac{19\pi }{6}$ и $4\pi +\frac{\pi }{6}=\frac{25\pi }{6}$. Соседние значения $\frac{13\pi }{6}=\frac{26\pi }{12}<\frac{33\pi }{12}=\frac{11\pi }{4}$ и $\frac{31\pi }{6}=\frac{62\pi }{12}>\frac{51\pi }{12}=\frac{17\pi }{4}$ вне отрезка.

Из серии $x=\frac{\pi }{3}+\pi k$ на отрезок попадает только $2\pi +\frac{4\pi }{3}=\frac{10\pi }{3}$. Соседние значения $\frac{7\pi }{3}=\frac{28\pi }{12}<\frac{33\pi }{12}$ и $\frac{13\pi }{3}=\frac{52\pi }{12}>\frac{51\pi }{12}$ вне отрезка.

Ответ: а) $\frac{\pi }{6}+\pi k$, $\frac{\pi }{3}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{19\pi }{6}$; $\frac{10\pi }{3}$; $\frac{25\pi }{6}$.