ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

По формуле синуса суммы $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$:

$$2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=2\left(\sin x\cos \frac{\pi }{3}+\cos x\sin \frac{\pi }{3}\right)=2\left(\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)=\sin x+\sqrt{3}\cos x.$$

По формуле приведения $\sin (\pi +x)=-\sin x$: название функции не меняется, а при малых $x>0$ угол $\pi +x$ лежит в III четверти, где синус отрицателен.

Подставим в уравнение:

$$\sin x+\sqrt{3}\cos x-2\sin x=0\iff \sqrt{3}\cos x-\sin x=0.$$

Получилось однородное уравнение первой степени. Если $\cos x=0$, то из него и $\sin x=0$, но синус и косинус одного угла не обращаются в ноль одновременно, так как ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Значит, на решениях $\cos x\ne 0$, и деление обеих частей на $\cos x$ — равносильный переход:

$$\sqrt{3}-\mathrm{tg}x=0\iff \mathrm{tg}x=\sqrt{3}\iff x=\frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[5\pi ;\frac{13\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $5\pi =4\pi +\pi$ — левая точка окружности, конец $\frac{13\pi }{2}=6\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит III, IV и I четверти.

Серия $x=\frac{\pi }{3}+\pi k$ даёт две диаметрально противоположные точки: $\frac{\pi }{3}$ в I четверти и $\frac{4\pi }{3}$ в III четверти. Обе лежат на дуге.

Точке III четверти соответствует число $4\pi +\frac{4\pi }{3}=\frac{16\pi }{3}$, точке I четверти — число $6\pi +\frac{\pi }{3}=\frac{19\pi }{3}$. Проверим: $\frac{16\pi }{3}>\frac{15\pi }{3}=5\pi$ и $\frac{19\pi }{3}=\frac{38\pi }{6}<\frac{39\pi }{6}=\frac{13\pi }{2}$. Соседние значения серии $\frac{13\pi }{3}<5\pi$ и $\frac{22\pi }{3}>\frac{13\pi }{2}$ вне отрезка.

Ответ: а) $\frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{16\pi }{3}$; $\frac{19\pi }{3}$.