ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

По формуле косинуса двойного угла $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$. По формуле приведения $\sin \left(\frac{3\pi }{2}-x\right)=-\cos x$: угол $\frac{3\pi }{2}$ отсчитывается от вертикальной оси, поэтому синус меняется на косинус, а при малых $x>0$ угол $\frac{3\pi }{2}-x$ лежит в III четверти, где синус отрицателен.

Подставим в уравнение:

$$2\left(2{\cos }^{2}x-1\right)+8\cos x-3=0\iff 4{\cos }^{2}x+8\cos x-5=0.$$

Сделаем замену $t=\cos x$, где $-1⩽t⩽1$:

$$4t^2+8t-5=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=8^2-4\cdot 4\cdot (-5)=64+80=144=12^2.$$

Тогда

$$t_1=\frac{-8+12}{8}=\frac{1}{2},t_2=\frac{-8-12}{8}=-\frac{5}{2}.$$

Значение $t_2=-\frac{5}{2}<-1$ не подходит: косинус не может быть меньше $-1$. Остаётся

$$\cos x=\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[-\frac{7\pi }{2};-2\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-\frac{7\pi }{2}=-4\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка, конец $-2\pi$ — правая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит II, III и IV четверти. Точка $\frac{\pi }{3}$ лежит в I четверти и дугой не покрыта, а точка $-\frac{\pi }{3}$ из IV четверти на дуге лежит.

Точке IV четверти на дуге соответствует число $-2\pi -\frac{\pi }{3}=-\frac{7\pi }{3}$. Соседние значения этой серии $-\frac{13\pi }{3}=-\frac{26\pi }{6}<-\frac{21\pi }{6}=-\frac{7\pi }{2}$ и $-\frac{\pi }{3}>-2\pi$ вне отрезка.

Серия $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{11\pi }{3}=-\frac{22\pi }{6}<-\frac{21\pi }{6}=-\frac{7\pi }{2}$, а следующее значение $-\frac{5\pi }{3}>-2\pi$.

Ответ: а) $\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{7\pi }{3}$.