ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и показательные выражения

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Все основания степеней раскладываются на множители 5 и 6:

$$750=5^3\cdot 6,125=5^3,30=5\cdot 6.$$

Поэтому введём новые переменные

$$a=5^{\cos 3x},b=6^{\cos 3x}.$$

Оценим $a$. Так как $-1⩽\cos 3x⩽1$, а функция $y=5^u$ возрастает,

$$5^{-1}⩽5^{\cos 3x}⩽5^1\iff \frac{1}{5}⩽a⩽5.$$

Кроме того, $b>0$ как значение показательной функции.

Выразим каждое слагаемое через $a$ и $b$ по свойствам степени $(mn{)}^u=m^u{n}^u$, $a^{m+n}=a^m{a}^n$, ${\left(a^m\right)}^n=a^{mn}$:

$$750^{\cos 3x}={\left(5^3\cdot 6\right)}^{\cos 3x}={\left(5^{\cos 3x}\right)}^3\cdot 6^{\cos 3x}=a^{3}b;$$

$$6\cdot 125^{\frac{1}{3}+\cos 3x}=6\cdot 125^{\frac{1}{3}}\cdot {\left(5^3\right)}^{\cos 3x}=6\cdot 5\cdot a^3=30a^3;$$

$$5^{5\cos 3x}={\left(5^{\cos 3x}\right)}^5=a^5;$$

$$30^{1+\cos 3x}=30\cdot 5^{\cos 3x}\cdot 6^{\cos 3x}=30ab.$$

Уравнение принимает вид

$$a^{3}b+30a^3=a^5+30ab.$$

Перенесём всё в левую часть и сгруппируем слагаемые:

$$\left(a^{3}b-a^5\right)-\left(30ab-30a^3\right)=0\iff a^3\left(b-a^2\right)-30a\left(b-a^2\right)=0\iff a\left(a^2-30\right)\left(b-a^2\right)=0.$$

Разберём множители. Первый: $a>0$, поэтому $a\ne 0$. Второй: из оценки $a⩽5$ следует $a^2⩽25<30$, значит, $a^2-30<0$ и в ноль не обращается. Следовательно, уравнение равносильно уравнению

$$b=a^2.$$

Сделаем обратную замену. Так как $a^2={\left(5^{\cos 3x}\right)}^2=25^{\cos 3x}$, получаем

$$6^{\cos 3x}=25^{\cos 3x}.$$

Разделим обе части на $6^{\cos 3x}>0$ — это равносильный переход:

$${\left(\frac{25}{6}\right)}^{\cos 3x}=1={\left(\frac{25}{6}\right)}^0.$$

Функция $y={\left(\frac{25}{6}\right)}^u$ монотонна, поэтому

$$\cos 3x=0\iff 3x=\frac{\pi }{2}+\pi k\iff x=\frac{\pi }{6}+\frac{\pi k}{3},k\in \mathbb{Z}.$$

Проверка: при $\cos 3x=0$ левая часть равна $750^0+6\cdot 125^{\frac{1}{3}}=1+30=31$, правая — $5^0+30^1=1+30=31$.

б) Отрезок $\left[-\frac{7\pi }{4};-\frac{3\pi }{4}\right]$ имеет длину $\pi$. Начало $-\frac{7\pi }{4}=-2\pi +\frac{\pi }{4}$ изображается точкой I четверти (как $\frac{\pi }{4}$), конец $-\frac{3\pi }{4}$ — точкой III четверти (как $\frac{5\pi }{4}$). Дуга от начала к концу против часовой стрелки — половина окружности от $\frac{\pi }{4}$ до $\frac{5\pi }{4}$.

Серия $x=\frac{\pi }{6}+\frac{\pi k}{3}$ даёт шесть точек с шагом $\frac{\pi }{3}$: $\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{2}$, $\frac{5\pi }{6}$, $\frac{7\pi }{6}$, $\frac{3\pi }{2}$, $\frac{11\pi }{6}$. На дугу попадают три из них: $\frac{\pi }{2}$, $\frac{5\pi }{6}$ и $\frac{7\pi }{6}$.

Найдём эти корни точно с помощью двойного неравенства. Подставим серию в условие, разделим на $\pi >0$ и умножим на 12:

$$-\frac{7\pi }{4}⩽\frac{\pi }{6}+\frac{\pi k}{3}⩽-\frac{3\pi }{4}\iff -21⩽2+4k⩽-9\iff -\frac{23}{4}⩽k⩽-\frac{11}{4}.$$

Целые значения: $k=-5;-4;-3$. Им соответствуют корни

$$x=\frac{\pi }{6}-\frac{5\pi }{3}=-\frac{3\pi }{2},x=\frac{\pi }{6}-\frac{4\pi }{3}=-\frac{7\pi }{6},x=\frac{\pi }{6}-\pi =-\frac{5\pi }{6}.$$

Ответ: а) $\frac{\pi }{6}+\frac{\pi k}{3},k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{3\pi }{2}$; $-\frac{7\pi }{6}$; $-\frac{5\pi }{6}$.