ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и показательные выражения

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

По свойству степени ${\left(a^n\right)}^m=a^{nm}$ и так как $25=5^2$, левую часть можно записать как степень с основанием 5:

$${\left(25^{\cos x}\right)}^{\sin x}=25^{\sin x\cos x}={\left(5^2\right)}^{\sin x\cos x}=5^{2\sin x\cos x}.$$

Уравнение принимает вид

$$5^{2\sin x\cos x}=5^{\sqrt{2}\sin x}.$$

Функция $y=5^u$ монотонна, поэтому степени с одинаковым основанием равны только при равных показателях:

$$2\sin x\cos x=\sqrt{2}\sin x\iff 2\sin x\cos x-\sqrt{2}\sin x=0.$$

Делить на $\sin x$ нельзя — так потеряются корни, где $\sin x=0$. Поэтому вынесем $\sin x$ за скобки:

$$\sin x\left(2\cos x-\sqrt{2}\right)=0\iff [\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\pi k$, из второго $x=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[2\pi ;\frac{7\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на единичной окружности. Начало $2\pi$ — правая точка, конец $\frac{7\pi }{2}=2\pi +\frac{3\pi }{2}$ — нижняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит I, II и III четверти.

Серия $x=\pi k$ даёт правую точку (начало дуги) и левую точку (лежит на дуге). Точка $\frac{\pi }{4}$ из I четверти на дуге, а точка $-\frac{\pi }{4}$ из IV четверти — нет.

Из серии $x=\pi k$ на отрезок попадают $2\pi$ и $3\pi$: соседние значения $\pi <2\pi$ и $4\pi >\frac{7\pi }{2}$.

Из серии $x=\frac{\pi }{4}+2\pi k$ на отрезок попадает только $2\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{9\pi }{4}$: соседние значения $\frac{\pi }{4}<2\pi$ и $\frac{17\pi }{4}>\frac{14\pi }{4}=\frac{7\pi }{2}$.

Серия $x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k$ отрезок пропускает: $\frac{7\pi }{4}<2\pi$, а следующее значение $\frac{15\pi }{4}>\frac{14\pi }{4}=\frac{7\pi }{2}$.

Ответ: а) $\pi k$, $\pm \frac{\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $2\pi$; $\frac{9\pi }{4}$; $3\pi$.