ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Перенесём $2\cos x$ в левую часть и вынесем $2\cos x$ из первого и последнего слагаемых:

$$2{\cos }^{3}x-2\cos x+\sqrt{2}{\sin }^{2}x=0\iff 2\cos x\left({\cos }^{2}x-1\right)+\sqrt{2}{\sin }^{2}x=0.$$

По основному тригонометрическому тождеству ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, поэтому ${\cos }^{2}x-1=-{\sin }^{2}x$. Получаем

$$-2\cos x{\sin }^{2}x+\sqrt{2}{\sin }^{2}x=0\iff {\sin }^{2}x\left(\sqrt{2}-2\cos x\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}{\sin }^{2}x=0,\\ \sqrt{2}-2\cos x=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\pi k$, из второго $x=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[\frac{5\pi }{2};4\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на единичной окружности. Начало $\frac{5\pi }{2}=2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка, конец $4\pi$ — правая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит II, III и IV четверти.

Серия $x=\pi k$ даёт левую и правую точки окружности: левая лежит на дуге, правая — её конец. Точка $\frac{\pi }{4}$ лежит в I четверти и дугой не покрыта, а точка $-\frac{\pi }{4}$ из IV четверти на дуге лежит.

Из серии $x=\pi k$ на отрезок попадают $3\pi$ и $4\pi$: соседние значения $2\pi <\frac{5\pi }{2}$ и $5\pi >4\pi$.

Серия $x=\frac{\pi }{4}+2\pi k$ отрезок пропускает: $\frac{9\pi }{4}<\frac{10\pi }{4}=\frac{5\pi }{2}$, а следующее значение $\frac{17\pi }{4}>\frac{16\pi }{4}=4\pi$.

Из серии $x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k$ на отрезок попадает только $4\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{15\pi }{4}$: соседние значения $\frac{7\pi }{4}<\frac{5\pi }{2}$ и $\frac{23\pi }{4}>4\pi$.

Ответ: а) $\pi k$, $\pm \frac{\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $3\pi$; $\frac{15\pi }{4}$; $4\pi$.