ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Заметим, что $2x+\frac{\pi }{7}=x+\left(x+\frac{\pi }{7}\right)$. По формуле косинуса суммы $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$:

$$\cos \left(2x+\frac{\pi }{7}\right)=\cos x\cos \left(x+\frac{\pi }{7}\right)-\sin x\sin \left(x+\frac{\pi }{7}\right).$$

По формуле приведения $\sin (x+\pi )=-\sin x$: название функции не меняется, а при малых $x>0$ угол $x+\pi$ лежит в III четверти, где синус отрицателен.

Подставим оба выражения в уравнение:

$$\cos x\cos \left(x+\frac{\pi }{7}\right)-\sin x\sin \left(x+\frac{\pi }{7}\right)=-\sin x+\cos x\cos \left(x+\frac{\pi }{7}\right).$$

Вычтем из обеих частей одно и то же выражение $\cos x\cos \left(x+\frac{\pi }{7}\right)$, определённое при всех $x$, — это равносильный переход:

$$-\sin x\sin \left(x+\frac{\pi }{7}\right)=-\sin x\iff \sin x-\sin x\sin \left(x+\frac{\pi }{7}\right)=0.$$

Вынесем $\sin x$ за скобки. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$\sin x\left(1-\sin \left(x+\frac{\pi }{7}\right)\right)=0\iff [\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \sin \left(x+\frac{\pi }{7}\right)=1.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\pi k,k\in \mathbb{Z}$.

Из второго $x+\frac{\pi }{7}=\frac{\pi }{2}+2\pi k$, откуда

$$x=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{7}+2\pi k=\frac{7\pi -2\pi }{14}+2\pi k=\frac{5\pi }{14}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $[0;\pi ]$ имеет длину $\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $0$ — правая точка, конец $\pi$ — левая точка; дуга от начала к концу против часовой стрелки — верхняя полуокружность. Серия $x=\pi k$ даёт правую и левую точки, обе — концы дуги. Точка $\frac{5\pi }{14}$ лежит в I четверти, так как $0<\frac{5\pi }{14}<\frac{7\pi }{14}=\frac{\pi }{2}$, и тоже на дуге.

Из серии $x=\pi k$ на отрезок попадают $0$ и $\pi$: соседние значения $-\pi <0$ и $2\pi >\pi$.

Из серии $x=\frac{5\pi }{14}+2\pi k$ на отрезок попадает только $\frac{5\pi }{14}$: соседние значения $-\frac{23\pi }{14}<0$ и $\frac{33\pi }{14}>\pi$.

Ответ: а) $\pi k$, $\frac{5\pi }{14}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $0$; $\frac{5\pi }{14}$; $\pi$.