ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

По формуле приведения $\cos \left(\frac{\pi }{2}-2x\right)=\sin 2x$: угол $\frac{\pi }{2}$ отсчитывается от вертикальной оси, поэтому косинус меняется на синус, а при малых $2x>0$ угол $\frac{\pi }{2}-2x$ лежит в I четверти, где косинус положителен. Далее, $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$, и по формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$.

Уравнение принимает вид

$$2\sin x\cos x+2\sqrt{3}{\cos }^{2}x=0.$$

Вынесем общий множитель $2\cos x$:

$$2\cos x\left(\sin x+\sqrt{3}\cos x\right)=0\iff [\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \sin x+\sqrt{3}\cos x=0.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$.

Второе уравнение — однородное первой степени. Если $\cos x=0$, то из него и $\sin x=0$, но синус и косинус одного угла не обращаются в ноль одновременно, так как ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Значит, на решениях второго уравнения $\cos x\ne 0$, и деление обеих частей на $\cos x$ — равносильный переход:

$$\mathrm{tg}x+\sqrt{3}=0\iff \mathrm{tg}x=-\sqrt{3}\iff x=-\frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[\frac{15\pi }{4};\frac{21\pi }{4}\right]$ имеет длину $\frac{6\pi }{4}=\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $\frac{15\pi }{4}=4\pi -\frac{\pi }{4}$ изображается точкой IV четверти (как $-\frac{\pi }{4}$), конец $\frac{21\pi }{4}=4\pi +\frac{5\pi }{4}$ — точкой III четверти (как $\frac{5\pi }{4}$). Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит I и II четверти.

Серия $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ даёт верхнюю и нижнюю точки окружности; на дугу попадает только верхняя. Серия $x=-\frac{\pi }{3}+\pi k$ даёт точки $-\frac{\pi }{3}$ (IV четверть) и $\frac{2\pi }{3}$ (II четверть). Точка $-\frac{\pi }{3}$ лежит ниже начала дуги, так как $-\frac{\pi }{3}<-\frac{\pi }{4}$, поэтому на дугу попадает только $\frac{2\pi }{3}$.

Верхней точке на отрезке соответствует число $4\pi +\frac{\pi }{2}=\frac{9\pi }{2}$. Соседние значения серии $\frac{7\pi }{2}=\frac{14\pi }{4}<\frac{15\pi }{4}$ и $\frac{11\pi }{2}=\frac{22\pi }{4}>\frac{21\pi }{4}$ — вне отрезка.

Точке $\frac{2\pi }{3}$ соответствует число $4\pi +\frac{2\pi }{3}=\frac{14\pi }{3}$. Соседние значения серии $\frac{11\pi }{3}=\frac{44\pi }{12}<\frac{45\pi }{12}=\frac{15\pi }{4}$ и $\frac{17\pi }{3}=\frac{68\pi }{12}>\frac{63\pi }{12}=\frac{21\pi }{4}$ — вне отрезка.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$, $-\frac{\pi }{3}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{9\pi }{2}$; $\frac{14\pi }{3}$.