ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — показательные уравнения

Разбор — 2 балла

а) В уравнении есть $\sqrt{x}$, поэтому ОДЗ: $x⩾0$. Остальные выражения определены при всех $x$.

Во всех трёх показателях есть слагаемое $x$. Отделим его по свойству $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$:

$$4^{x+\sqrt{x}-1,5}=4^x\cdot 4^{\sqrt{x}-1,5};$$

$$4^{x-\sqrt{x}+1,5}=4^x\cdot 4^{-\left(\sqrt{x}-1,5\right)}=\frac{4^x}{4^{\sqrt{x}-1,5}};$$

$$4^{x+1}=4\cdot 4^x.$$

Введём новые переменные

$$a=4^x,b=4^{\sqrt{x}-1,5}.$$

Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $a>0$ и $b>0$. Уравнение принимает вид

$$ab+\frac{3a}{b}-4a=0.$$

Умножим обе части на $\frac{b}{a}$. Это число положительно, поэтому переход равносильный:

$$b^2+3-4b=0\iff b^2-4b+3=0.$$

По теореме, обратной теореме Виета, ищем два числа с суммой $4$ и произведением $3$: это $1$ и $3$. Значит, $b=1$ или $b=3$; оба значения положительны и подходят. Сделаем обратную замену.

Если $b=1$, то $4^{\sqrt{x}-1,5}=1=4^0$. Функция $y=4^u$ монотонна, поэтому показатели равны:

$$\sqrt{x}-1,5=0\iff \sqrt{x}=\frac{3}{2}\iff x=\frac{9}{4}=2,25.$$

Последний переход равносилен, так как правая часть $\frac{3}{2}$ неотрицательна, и обе части можно возвести в квадрат. Корень удовлетворяет ОДЗ.

Если $b=3$, то $4^{\sqrt{x}-1,5}=3$. По определению логарифма

$$\sqrt{x}-1,5={\log }_{4}3\iff \sqrt{x}=\frac{3}{2}+{\log }_{4}3.$$

Запишем $\frac{3}{2}$ как логарифм по основанию 4: $\frac{3}{2}={\log }_4{4}^{\frac{3}{2}}={\log }_{4}8$, так как $4^{\frac{3}{2}}={\left(\sqrt{4}\right)}^3=8$. По формуле суммы логарифмов ${\log }_{a}m+{\log }_{a}n={\log }_a(mn)$ получаем

$$\sqrt{x}={\log }_{4}8+{\log }_{4}3={\log }_{4}24.$$

Так как $24>1$, число ${\log }_{4}24$ положительно, и уравнение $\sqrt{x}={\log }_{4}24$ равносильно уравнению $x={\left({\log }_{4}24\right)}^2={\log }_4^{2}24$. Этот корень тоже удовлетворяет ОДЗ.

Итак, корни уравнения: $2,25$ и ${\log }_4^{2}24$.

б) Корень $2,25$ лежит на промежутке, так как $2⩽2,25⩽6$.

Для корня ${\log }_4^{2}24$ оценим ${\log }_{4}24$ с двух сторон. Логарифм по основанию $4>1$ возрастает.

Оценка снизу: ${\log }_{4}24>{\log }_{4}16=2$. Обе части положительны, поэтому их можно возвести в квадрат: ${\log }_4^{2}24>4>2$.

Оценка сверху: покажем, что ${\log }_{4}24<\frac{12}{5}$. Это неравенство равносильно неравенству $24<4^{\frac{12}{5}}$. Обе части положительны, а функция $y=u^5$ возрастает, поэтому возведём их в пятую степень:

$$24^5<4^{12}.$$

Разложим обе части на простые множители: $24^5={\left(2^3\cdot 3\right)}^5=2^{15}\cdot 3^5$ и $4^{12}=2^{24}$. Разделим на $2^{15}>0$:

$$3^5<2^9\iff 243<512$$

— это верно. Значит, ${\log }_{4}24<\frac{12}{5}$, и

$${\log }_4^{2}24<{\left(\frac{12}{5}\right)}^2=\frac{144}{25}=5,76<6.$$

Получаем $2<{\log }_4^{2}24<6$, то есть и этот корень лежит на промежутке $[2;6]$.

Ответ: а) $2,25$; ${\log }_4^{2}24$; б) $2,25$; ${\log }_4^{2}24$.