ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и показательные выражения

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$: показательная функция определена при любом показателе.

По формуле приведения $\sin (\pi +x)=-\sin x$: угол $\pi$ отсчитывается от горизонтальной оси, поэтому название функции не меняется, а при малых $x>0$ угол $\pi +x$ лежит в III четверти, где синус отрицателен. Уравнение принимает вид

$$4^{\sin x}+4^{-\sin x}=\frac{5}{2}.$$

По свойству степени с отрицательным показателем $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, поэтому $4^{-\sin x}=\frac{1}{4^{\sin x}}$. Сделаем замену $t=4^{\sin x}$. Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $t>0$, и уравнение записывается так:

$$t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}.$$

Умножим обе части на $2t$. Так как $2t>0$, это равносильный переход:

$$2t^2+2=5t\iff 2t^2-5t+2=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-5{)}^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9=3^2.$$

Тогда

$$t_1=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2},t_2=\frac{5+3}{4}=2.$$

Оба корня положительны, значит, оба подходят. Сделаем обратную замену. Запишем правые части как степени четвёрки: $2=\sqrt{4}=4^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{1}{2}=4^{-\frac{1}{2}}$.

$$[\begin{array}{l}{4}^{\sin x}=4^{-\frac{1}{2}},\\ 4^{\sin x}=4^{\frac{1}{2}}.\end{array}$$

Функция $y=4^u$ монотонна, поэтому степени с одинаковым основанием равны только при равных показателях:

$$[\begin{array}{l}\sin x=-\frac{1}{2},\\ \sin x=\frac{1}{2}.\end{array}$$

Уравнение $\sin x=\frac{1}{2}$ даёт на единичной окружности точки $\frac{\pi }{6}$ и $\frac{5\pi }{6}$, уравнение $\sin x=-\frac{1}{2}$ — точки $\frac{7\pi }{6}$ и $\frac{11\pi }{6}$. Точки $\frac{\pi }{6}$ и $\frac{7\pi }{6}$ диаметрально противоположны (отличаются на $\pi$), так же как $\frac{5\pi }{6}$ и $\frac{11\pi }{6}$. Поэтому все четыре точки описываются двумя сериями с шагом $\pi$:

$$x=\frac{\pi }{6}+\pi k\text{или}x=-\frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z},$$

то есть $x=\pm \frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[\frac{5\pi }{2};4\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $\frac{5\pi }{2}=2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка окружности, конец $4\pi$ — правая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит II, III и IV четверти. На неё попадают три точки решения: $\frac{5\pi }{6}$ (II четверть), $\frac{7\pi }{6}$ (III четверть) и $\frac{11\pi }{6}$ (IV четверть). Точка $\frac{\pi }{6}$ из I четверти дугой не покрыта.

Найдём числа, которые соответствуют этим точкам на отрезке, и проверим соседние значения каждой серии.

Из серии $x=\frac{\pi }{6}+\pi k$ на отрезок попадает только $2\pi +\frac{7\pi }{6}=\frac{19\pi }{6}$: соседние значения $\frac{13\pi }{6}<\frac{15\pi }{6}=\frac{5\pi }{2}$ и $\frac{25\pi }{6}>\frac{24\pi }{6}=4\pi$.

Из серии $x=-\frac{\pi }{6}+\pi k$ на отрезок попадают $2\pi +\frac{5\pi }{6}=\frac{17\pi }{6}$ и $4\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{23\pi }{6}$: соседние значения $\frac{11\pi }{6}<\frac{5\pi }{2}$ и $\frac{29\pi }{6}>4\pi$.

Ответ: а) $\pm \frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{17\pi }{6}$; $\frac{19\pi }{6}$; $\frac{23\pi }{6}$.