ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле приведения $\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{x}{2}\right)=\sin \frac{x}{2}$: угол $\frac{\pi }{2}$ отсчитывается от вертикальной оси, косинус меняется на синус, а угол $\frac{\pi }{2}-\frac{x}{2}$ при малых $x>0$ лежит в I четверти, где косинус положителен. По формуле приведения $\sin (\pi -x)=\sin x$: угол $\pi$ отсчитывается от горизонтальной оси, функция не меняется, а угол $\pi -x$ лежит во II четверти, где синус положителен.

Уравнение принимает вид

$$\sin \frac{x}{2}+\sin x=0.$$

Чтобы получить общий множитель, распишем $\sin x$ как синус двойного угла от $\frac{x}{2}$: $\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$. Тогда

$$\sin \frac{x}{2}+2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=0\iff \sin \frac{x}{2}\left(1+2\cos \frac{x}{2}\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin \frac{x}{2}=0,\\ \cos \frac{x}{2}=-\frac{1}{2}.\end{array}$$

Из первого уравнения $\frac{x}{2}=\pi k$, то есть $x=2\pi k$. Из второго $\frac{x}{2}=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k$; умножив на $2$, получаем $x=\pm \frac{4\pi }{3}+4\pi k$. Итак,

$$[\begin{array}{l}x=2\pi k,\\ x=\frac{4\pi }{3}+4\pi k,\\ x=-\frac{4\pi }{3}+4\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $[-9\pi ;-6\pi ]$ имеет длину $3\pi >2\pi$, а у двух серий период $4\pi$, поэтому отберём корни двойными неравенствами: подставим каждую серию в условие $-9\pi ⩽x⩽-6\pi$ и найдём целые $k$.

Серия $x=2\pi k$. Разделим неравенство на $2\pi >0$:

$$-9\pi ⩽2\pi k⩽-6\pi \iff -\frac{9}{2}⩽k⩽-3\Rightarrow k=-4;-3.$$

Получаем $x=-8\pi$ и $x=-6\pi$.

Серия $x=\frac{4\pi }{3}+4\pi k$. Разделим на $\pi$, вычтем $\frac{4}{3}$ и разделим на $4$:

$$-9⩽\frac{4}{3}+4k⩽-6\iff -\frac{31}{3}⩽4k⩽-\frac{22}{3}\iff -\frac{31}{12}⩽k⩽-\frac{11}{6}.$$

Так как $-\frac{31}{12}=-2\frac{7}{12}$ и $-\frac{11}{6}=-1\frac{5}{6}$, подходит только $k=-2$: $x=\frac{4\pi }{3}-8\pi =-\frac{20\pi }{3}$.

Серия $x=-\frac{4\pi }{3}+4\pi k$. Аналогично:

$$-9⩽-\frac{4}{3}+4k⩽-6\iff -\frac{23}{3}⩽4k⩽-\frac{14}{3}\iff -\frac{23}{12}⩽k⩽-\frac{7}{6}.$$

Так как $-\frac{23}{12}=-1\frac{11}{12}$ и $-\frac{7}{6}=-1\frac{1}{6}$, между ними нет целых чисел — из этой серии на отрезок корни не попадают.

Ответ: а) $2\pi k$, $\pm \frac{4\pi }{3}+4\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-8\pi$; $-\frac{20\pi }{3}$; $-6\pi$.