ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и логарифмы

Разбор — 2 балла

а) Логарифм определён, только если его аргумент положителен: $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)+\sin 2x+81>0$.

По определению логарифма ${\log }_{3}A=4$ равносильно $A=3^4=81$. Число $81$ положительно, поэтому на решениях этого равенства условие $A>0$ выполняется автоматически, и отдельно его проверять не нужно. Уравнение равносильно

$$\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)+\sin 2x+81=81\iff \cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)+\sin 2x=0.$$

По формуле приведения $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$: угол $\frac{\pi }{2}$ отсчитывается от вертикальной оси, косинус меняется на синус, а при малых $x>0$ угол $\frac{\pi }{2}-x$ лежит в I четверти, где косинус положителен. По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Получаем

$$\sin x+2\sin x\cos x=0\iff \sin x\left(1+2\cos x\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \cos x=-\frac{1}{2}.\end{array}$$

Синус равен нулю в правой и левой точках окружности: $x=\pi k$. Косинус равен $-\frac{1}{2}$ в точках II и III четвертей — углах $\frac{2\pi }{3}$ и $-\frac{2\pi }{3}$:

$$[\begin{array}{l}x=\pi k,\\ x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[-\frac{7\pi }{2};-2\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-\frac{7\pi }{2}=-4\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка окружности, конец $-2\pi$ — правая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через II, III и IV четверти.

На дуге лежат все четыре точки решения: левая и правая (правая совпадает с концом дуги), а также точки II и III четвертей.

Найдём соответствующие числа. Точка II четверти — $-4\pi +\frac{2\pi }{3}=-\frac{10\pi }{3}$; она правее начала отрезка, так как $-\frac{10\pi }{3}=-\frac{20\pi }{6}>-\frac{21\pi }{6}=-\frac{7\pi }{2}$. Левая точка — $-4\pi +\pi =-3\pi$. Точка III четверти — $-2\pi -\frac{2\pi }{3}=-\frac{8\pi }{3}$. Правая точка — конец отрезка $-2\pi$.

Проверим соседние значения. Для серии $\pi k$: $-4\pi <-\frac{7\pi }{2}$ и $-\pi >-2\pi$. Для серии $\frac{2\pi }{3}+2\pi k$: $-\frac{16\pi }{3}<-\frac{7\pi }{2}$ и $-\frac{4\pi }{3}>-2\pi$. Для серии $-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$: $-\frac{14\pi }{3}<-\frac{7\pi }{2}$ и $-\frac{2\pi }{3}>-2\pi$.

Ответ: а) $\pi k$, $\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{10\pi }{3}$; $-3\pi$; $-\frac{8\pi }{3}$; $-2\pi$.