ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Перенесём $2\sin x$ в левую часть и вынесем $2\sin x$ за скобки в двух слагаемых:

$$2{\sin }^{3}x-2\sin x+\sqrt{2}{\cos }^{2}x=0\iff 2\sin x\left({\sin }^{2}x-1\right)+\sqrt{2}{\cos }^{2}x=0.$$

Из основного тригонометрического тождества ${\sin }^{2}x-1=-{\cos }^{2}x$. Подставим:

$$-2\sin x{\cos }^{2}x+\sqrt{2}{\cos }^{2}x=0\iff {\cos }^{2}x\left(\sqrt{2}-2\sin x\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}.\end{array}$$

Косинус равен нулю в верхней и нижней точках окружности: $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$. Синус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$ в точках I и II четвертей — углах $\frac{\pi }{4}$ и $\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$. Получаем

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+\pi k,\\ x=\frac{\pi }{4}+2\pi k,\\ x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[-3\pi ;-\frac{3\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-3\pi =-4\pi +\pi$ — левая точка окружности, конец $-\frac{3\pi }{2}=-2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через III, IV и I четверти.

На дуге лежат нижняя точка, верхняя точка (конец дуги) и точка I четверти $\frac{\pi }{4}$. Точка II четверти $\frac{3\pi }{4}$ дугой не покрыта.

Найдём соответствующие числа. Нижняя точка — $-2\pi -\frac{\pi }{2}=-\frac{5\pi }{2}$. Точка I четверти — $-2\pi +\frac{\pi }{4}=-\frac{7\pi }{4}$. Верхняя точка — конец отрезка $-\frac{3\pi }{2}$.

Проверим соседние значения. Для серии $\frac{\pi }{2}+\pi k$: $-\frac{5\pi }{2}-\pi =-\frac{7\pi }{2}<-3\pi$ и $-\frac{3\pi }{2}+\pi =-\frac{\pi }{2}>-\frac{3\pi }{2}$. Для серии $\frac{\pi }{4}+2\pi k$: $-\frac{15\pi }{4}<-3\pi$ и $\frac{\pi }{4}>-\frac{3\pi }{2}$. Серия $\frac{3\pi }{4}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{13\pi }{4}<-\frac{12\pi }{4}=-3\pi$, а $-\frac{5\pi }{4}>-\frac{6\pi }{4}=-\frac{3\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$, $\frac{\pi }{4}+2\pi k$, $\frac{3\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{5\pi }{2}$; $-\frac{7\pi }{4}$; $-\frac{3\pi }{2}$.