ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — показательные уравнения

Разбор — 2 балла

а) Показательные выражения определены при всех $x$, ограничений нет.

Приведём степени к основанию $2$ по свойствам степени $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$ и ${\left(a^m\right)}^n=a^{mn}$:

$$8^{1-4x}=8\cdot 8^{-4x}=8\cdot {\left(2^3\right)}^{-4x}=8\cdot 2^{-12x}=8\cdot {\left(2^{-6x}\right)}^2;$$

$$4^{1,5-3x}=4^{1,5}\cdot 4^{-3x}=8\cdot {\left(2^2\right)}^{-3x}=8\cdot 2^{-6x},$$

так как $4^{1,5}=4^{\frac{3}{2}}={\left(\sqrt{4}\right)}^3=8$. Уравнение принимает вид

$$8\cdot {\left(2^{-6x}\right)}^2-21\cdot 8\cdot 2^{-6x}+640=0.$$

Разделим обе части на $8$:

$${\left(2^{-6x}\right)}^2-21\cdot 2^{-6x}+80=0.$$

Сделаем замену $t=2^{-6x}$. Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $t>0$:

$$t^2-21t+80=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-21{)}^2-4\cdot 1\cdot 80=441-320=121=11^2.$$

Тогда

$$t_1=\frac{21-11}{2}=5,t_2=\frac{21+11}{2}=16.$$

Оба корня положительны, оба годятся. Сделаем обратную замену.

Если $t=16$, то $2^{-6x}=2^4$. Функция $y=2^u$ монотонна, поэтому равенство степеней с одинаковым основанием равносильно равенству показателей: $-6x=4$, откуда $x=-\frac{2}{3}$.

Если $t=5$, то $2^{-6x}=5$. По определению логарифма $-6x={\log }_{2}5$, откуда $x=-\frac{1}{6}{\log }_{2}5$.

б) Проверим, какие корни лежат на отрезке $[-1;-0,5]$.

Для корня $-\frac{2}{3}$ приведём дроби к общим знаменателям:

$$-1=-\frac{3}{3}<-\frac{2}{3},-\frac{2}{3}=-\frac{4}{6}<-\frac{3}{6}=-0,5.$$

Значит, $-1⩽-\frac{2}{3}⩽-0,5$, и этот корень принадлежит отрезку.

Для корня $-\frac{1}{6}{\log }_{2}5$ сравним $\frac{1}{6}{\log }_{2}5$ с $0,5$. Логарифм по основанию $2>1$ — возрастающая функция, поэтому

$${\log }_{2}5<{\log }_{2}8=3\Rightarrow \frac{1}{6}{\log }_{2}5<\frac{3}{6}=0,5\Rightarrow -\frac{1}{6}{\log }_{2}5>-0,5.$$

Этот корень лежит правее отрезка и ему не принадлежит.

Ответ: а) $-\frac{2}{3}$; $-\frac{1}{6}{\log }_{2}5$; б) $-\frac{2}{3}$.