ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Упростим корни: $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$. Косинус — периодическая функция с периодом $2\pi$, поэтому $\cos (2\pi +2x)=\cos 2x$, а по формуле косинуса двойного угла $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$. Уравнение принимает вид

$$2\left(1-2{\sin }^{2}x\right)-2-2\sqrt{2}\sin x=\sqrt{6}+2\sqrt{3}\sin x\iff -4{\sin }^{2}x-2\sqrt{2}\sin x=\sqrt{6}+2\sqrt{3}\sin x.$$

Перенесём всё в правую часть:

$$4{\sin }^{2}x+2\sqrt{2}\sin x+2\sqrt{3}\sin x+\sqrt{6}=0.$$

Сгруппируем первые два и последние два слагаемых. Из первых вынесем $2\sin x$, из последних — $\sqrt{3}$ (учитываем, что $\sqrt{6}=\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}$):

$$2\sin x\left(2\sin x+\sqrt{2}\right)+\sqrt{3}\left(2\sin x+\sqrt{2}\right)=0\iff \left(2\sin x+\sqrt{2}\right)\left(2\sin x+\sqrt{3}\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2},\\ \sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}$$

Синус равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ в точках IV и III четвертей — углах $-\frac{\pi }{4}$ и $-\frac{3\pi }{4}$. Синус равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ в точках $-\frac{\pi }{3}$ (IV четверть) и $-\frac{2\pi }{3}$ (III четверть). Получаем

$$[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k,\\ x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k,\\ x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[\frac{3\pi }{2};3\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $\frac{3\pi }{2}$ — нижняя точка окружности, конец $3\pi =2\pi +\pi$ — левая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через IV, I и II четверти, а III четверть не покрывает.

Значит, на дугу попадают обе точки IV четверти ($-\frac{\pi }{3}$ и $-\frac{\pi }{4}$), а обе точки III четверти ($-\frac{2\pi }{3}$ и $-\frac{3\pi }{4}$) — нет.

Найдём числа, соответствующие точкам на дуге: $2\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{3}$ и $2\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{7\pi }{4}$. Оба больше $\frac{3\pi }{2}$: $\frac{5\pi }{3}=\frac{10\pi }{6}>\frac{9\pi }{6}$, $\frac{7\pi }{4}>\frac{6\pi }{4}$.

Проверим соседние значения. Для серии $-\frac{\pi }{3}+2\pi k$: $-\frac{\pi }{3}<\frac{3\pi }{2}$ и $\frac{11\pi }{3}>3\pi$. Для серии $-\frac{\pi }{4}+2\pi k$: $-\frac{\pi }{4}<\frac{3\pi }{2}$ и $\frac{15\pi }{4}>3\pi$. Серии III четверти отрезок пропускают: $\frac{4\pi }{3}=\frac{8\pi }{6}<\frac{9\pi }{6}$ и $\frac{10\pi }{3}>3\pi$; $\frac{5\pi }{4}<\frac{6\pi }{4}$ и $\frac{13\pi }{4}>3\pi$.

Ответ: а) $-\frac{\pi }{4}+2\pi k$, $-\frac{3\pi }{4}+2\pi k$, $-\frac{\pi }{3}+2\pi k$, $-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{5\pi }{3}$; $\frac{7\pi }{4}$.