ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Синус — нечётная функция, поэтому $\sin (-x)=-\sin x$ и $-2\sin (-x)=2\sin x$. Косинус — чётная функция, поэтому $\cos (-x)=\cos x$. Уравнение принимает вид

$$2\sin x\cos x+2\sin x=1+\cos x.$$

Перенесём всё в левую часть и вынесем $2\sin x$ из первых двух слагаемых:

$$2\sin x\left(\cos x+1\right)-\left(\cos x+1\right)=0\iff \left(\cos x+1\right)\left(2\sin x-1\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos x=-1,\\ \sin x=\frac{1}{2}.\end{array}$$

Косинус равен $-1$ только в левой точке окружности: $x=\pi +2\pi k$. Синус равен $\frac{1}{2}$ в точках $\frac{\pi }{6}$ (I четверть) и $\frac{5\pi }{6}$ (II четверть). Получаем

$$[\begin{array}{l}x=\pi +2\pi k,\\ x=\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[-\frac{7\pi }{2};-2\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-\frac{7\pi }{2}=-4\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка окружности, конец $-2\pi$ — правая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через II, III и IV четверти.

Левая точка и точка II четверти $\frac{5\pi }{6}$ лежат на дуге, точка I четверти $\frac{\pi }{6}$ — нет.

Найдём соответствующие числа: точке II четверти соответствует $-4\pi +\frac{5\pi }{6}=-\frac{19\pi }{6}$, левой точке — $-4\pi +\pi =-3\pi$.

Проверим соседние значения. Для серии $\pi +2\pi k$: $-5\pi <-\frac{7\pi }{2}$ и $-\pi >-2\pi$. Для серии $\frac{5\pi }{6}+2\pi k$: $-\frac{31\pi }{6}<-\frac{7\pi }{2}$ и $-\frac{7\pi }{6}>-2\pi$. Серия $\frac{\pi }{6}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{23\pi }{6}<-\frac{21\pi }{6}=-\frac{7\pi }{2}$, а $-\frac{11\pi }{6}>-\frac{12\pi }{6}=-2\pi$.

Ответ: а) $\pi +2\pi k$, $\frac{\pi }{6}+2\pi k$, $\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{19\pi }{6}$; $-3\pi$.