ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле косинуса двойного угла $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$. По формуле приведения $\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=\cos x$: угол $\frac{\pi }{2}$ отсчитывается от вертикальной оси, синус меняется на косинус, а при малых $x>0$ угол $\frac{\pi }{2}+x$ лежит во II четверти, где синус положителен.

Подставим в уравнение:

$$3\left(2{\cos }^{2}x-1\right)-7\cos x-2=0\iff 6{\cos }^{2}x-7\cos x-5=0.$$

Сделаем замену $t=\cos x$, где $-1⩽t⩽1$:

$$6t^2-7t-5=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-7{)}^2-4\cdot 6\cdot (-5)=49+120=169=13^2.$$

Тогда

$$t_1=\frac{7-13}{12}=-\frac{1}{2},t_2=\frac{7+13}{12}=\frac{20}{12}=\frac{5}{3}.$$

Значение $t_2=\frac{5}{3}>1$ не подходит: косинус не может быть больше $1$. Остаётся

$$\cos x=-\frac{1}{2}.$$

Косинус равен $-\frac{1}{2}$ в двух точках окружности — во II четверти (угол $\frac{2\pi }{3}$) и в III четверти (угол $-\frac{2\pi }{3}$):

$$x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[\frac{7\pi }{2};5\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $\frac{7\pi }{2}=4\pi -\frac{\pi }{2}$ — нижняя точка окружности, конец $5\pi =4\pi +\pi$ — левая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через IV, I и II четверти.

Точка II четверти (серия $\frac{2\pi }{3}+2\pi k$) лежит на дуге, а точка III четверти (серия $-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$) дугой не покрыта.

Точке на дуге соответствует число $4\pi +\frac{2\pi }{3}=\frac{14\pi }{3}$. Соседние значения этой серии $\frac{8\pi }{3}=\frac{16\pi }{6}<\frac{21\pi }{6}=\frac{7\pi }{2}$ и $\frac{20\pi }{3}>5\pi$ лежат вне отрезка. Серия $-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ отрезок пропускает: $\frac{10\pi }{3}=\frac{20\pi }{6}<\frac{21\pi }{6}=\frac{7\pi }{2}$, а $\frac{16\pi }{3}>\frac{15\pi }{3}=5\pi$.

Ответ: а) $\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{14\pi }{3}$.