ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Вынесем $2\sin x$ за скобки в первых двух слагаемых:

$$2\sin x\left({\sin }^{2}x-1\right)+{\cos }^{2}x=0.$$

Из основного тригонометрического тождества ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ следует, что ${\sin }^{2}x-1=-{\cos }^{2}x$. Подставим:

$$-2\sin x{\cos }^{2}x+{\cos }^{2}x=0.$$

Вынесем общий множитель ${\cos }^{2}x$:

$${\cos }^{2}x\left(1-2\sin x\right)=0\iff [\begin{array}{l}{\cos }^{2}x=0,\\ 1-2\sin x=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \sin x=\frac{1}{2}.\end{array}$$

Косинус равен нулю в верхней и нижней точках окружности: $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$. Синус равен $\frac{1}{2}$ в точках I и II четвертей — углах $\frac{\pi }{6}$ и $\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$. Получаем

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+\pi k,\\ x=\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[-\frac{7\pi }{2};-2\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-\frac{7\pi }{2}=-4\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка окружности, конец $-2\pi$ — правая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через II, III и IV четверти.

Серия $\frac{\pi }{2}+\pi k$ даёт верхнюю и нижнюю точки — обе на дуге (верхняя совпадает с её началом). Точка II четверти $\frac{5\pi }{6}$ на дуге лежит, а точка I четверти $\frac{\pi }{6}$ — нет.

Найдём соответствующие числа. Верхняя точка — начало отрезка $-\frac{7\pi }{2}$. Точка II четверти — $-4\pi +\frac{5\pi }{6}=-\frac{19\pi }{6}$. Нижняя точка — $-2\pi -\frac{\pi }{2}=-\frac{5\pi }{2}$.

Проверим соседние значения. Для серии $\frac{\pi }{2}+\pi k$: $-\frac{7\pi }{2}-\pi =-\frac{9\pi }{2}<-\frac{7\pi }{2}$ и $-\frac{5\pi }{2}+\pi =-\frac{3\pi }{2}>-2\pi$. Для серии $\frac{5\pi }{6}+2\pi k$: $-\frac{31\pi }{6}<-\frac{7\pi }{2}$ и $-\frac{7\pi }{6}>-2\pi$. Серия $\frac{\pi }{6}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{23\pi }{6}<-\frac{21\pi }{6}=-\frac{7\pi }{2}$, а $-\frac{11\pi }{6}>-\frac{12\pi }{6}=-2\pi$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$, $\frac{\pi }{6}+2\pi k$, $\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{7\pi }{2}$; $-\frac{19\pi }{6}$; $-\frac{5\pi }{2}$.