ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Распишем косинус разности по формуле $\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$, учитывая, что $\cos \frac{\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$2\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x\right)=\sqrt{2}\cos x+\sqrt{2}\sin x.$$

По формуле приведения $\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=\cos x$: угол $\frac{\pi }{2}$ отсчитывается от вертикальной оси, синус меняется на косинус, а при малых $x>0$ угол $\frac{\pi }{2}+x$ лежит во II четверти, где синус положителен.

Подставим в уравнение:

$$\sqrt{2}\cos x+\sqrt{2}\sin x-2\sqrt{2}\cos x=0\iff \sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}\cos x=0\iff \sin x-\cos x=0.$$

Получилось однородное уравнение первой степени. Если $\cos x=0$, то из уравнения и $\sin x=0$, что противоречит тождеству ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Значит, на решениях $\cos x\ne 0$, и деление обеих частей на $\cos x$ — равносильный переход:

$$\mathrm{tg}x-1=0\iff \mathrm{tg}x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[\frac{\pi }{2};2\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка, конец $2\pi$ — правая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через II, III и IV четверти.

Серия $x=\frac{\pi }{4}+\pi k$ даёт две диаметрально противоположные точки: в I четверти (угол $\frac{\pi }{4}$) и в III четверти (угол $\frac{5\pi }{4}$). На дуге лежит только точка III четверти.

Ей соответствует число $\frac{5\pi }{4}$. Соседние значения серии $\frac{5\pi }{4}-\pi =\frac{\pi }{4}<\frac{\pi }{2}$ и $\frac{5\pi }{4}+\pi =\frac{9\pi }{4}>2\pi$ лежат вне отрезка.

Ответ: а) $\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{5\pi }{4}$.