ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Синус — нечётная функция, поэтому $\sin (-x)=-\sin x$ и $-3\sin (-x)=3\sin x$. Из основного тригонометрического тождества ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$. Подставим:

$$2\left(1-{\sin }^{2}x\right)+3\sin x-3=0\iff -2{\sin }^{2}x+3\sin x-1=0.$$

Умножим обе части на $-1$:

$$2{\sin }^{2}x-3\sin x+1=0.$$

Сделаем замену $t=\sin x$, где $-1⩽t⩽1$:

$$2t^2-3t+1=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-3{)}^2-4\cdot 2\cdot 1=9-8=1.$$

Тогда

$$t_1=\frac{3+1}{4}=1,t_2=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}.$$

Оба значения лежат в промежутке $[-1;1]$. Сделаем обратную замену:

$$[\begin{array}{l}\sin x=1,\\ \sin x=\frac{1}{2}.\end{array}$$

Синус равен $1$ только в верхней точке окружности: $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k$. Синус равен $\frac{1}{2}$ в точках I и II четвертей — углах $\frac{\pi }{6}$ и $\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$:

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+2\pi k,\\ x=\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[\frac{5\pi }{2};4\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $\frac{5\pi }{2}=2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка окружности, конец $4\pi$ — правая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через II, III и IV четверти.

Верхняя точка совпадает с началом дуги, точка II четверти ($\frac{5\pi }{6}$) лежит на дуге, а точка I четверти ($\frac{\pi }{6}$) дугой не покрыта.

Найдём соответствующие числа: верхняя точка — начало отрезка $\frac{5\pi }{2}$, точка II четверти — $2\pi +\frac{5\pi }{6}=\frac{17\pi }{6}$.

Проверим соседние значения. Для серии $\frac{\pi }{2}+2\pi k$: $\frac{\pi }{2}<\frac{5\pi }{2}$ и $\frac{9\pi }{2}>4\pi$. Для серии $\frac{5\pi }{6}+2\pi k$: $\frac{5\pi }{6}<\frac{5\pi }{2}$ и $\frac{29\pi }{6}>\frac{24\pi }{6}=4\pi$. Серия $\frac{\pi }{6}+2\pi k$ отрезок пропускает: $\frac{13\pi }{6}<\frac{15\pi }{6}=\frac{5\pi }{2}$, а $\frac{25\pi }{6}>\frac{24\pi }{6}=4\pi$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+2\pi k$, $\frac{\pi }{6}+2\pi k$, $\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{5\pi }{2}$; $\frac{17\pi }{6}$.