ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Синус — периодическая функция с периодом $2\pi$, поэтому $\sin (2\pi +x)=\sin x$. По формуле синуса двойного угла $\sqrt{3}\sin 2x=2\sqrt{3}\sin x\cos x$. Уравнение принимает вид

$$2{\sin }^{2}x+\sqrt{2}\sin x-2\sqrt{3}\sin x\cos x=\sqrt{6}\cos x.$$

Перенесём всё в левую часть:

$$2{\sin }^{2}x+\sqrt{2}\sin x-2\sqrt{3}\sin x\cos x-\sqrt{6}\cos x=0.$$

Сгруппируем слагаемые попарно. Из первых двух вынесем $\sin x$, из последних двух — $\sqrt{3}\cos x$ (учитываем, что $\sqrt{6}=\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}$):

$$\sin x\left(2\sin x+\sqrt{2}\right)-\sqrt{3}\cos x\left(2\sin x+\sqrt{2}\right)=0\iff \left(2\sin x+\sqrt{2}\right)\left(\sin x-\sqrt{3}\cos x\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}2\sin x+\sqrt{2}=0,\\ \sin x-\sqrt{3}\cos x=0.\end{array}$$

Решим первое уравнение: $\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Синус принимает это значение в двух точках окружности — в IV четверти (угол $-\frac{\pi }{4}$) и в III четверти (угол $-\frac{3\pi }{4}$):

$$x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k,x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Второе уравнение — однородное первой степени. Если $\cos x=0$, то из него и $\sin x=0$, что невозможно, так как ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Значит, на его решениях $\cos x\ne 0$, и обе части можно разделить на $\cos x$:

$$\mathrm{tg}x=\sqrt{3}\iff x=\frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Итак,

$$[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k,\\ x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k,\\ x=\frac{\pi }{3}+\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[\frac{3\pi }{2};3\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $\frac{3\pi }{2}$ — нижняя точка окружности, конец $3\pi =2\pi +\pi$ — левая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через IV, I и II четверти, а III четверть не покрывает.

Точка $-\frac{\pi }{4}$ (IV четверть) лежит на дуге, точка $-\frac{3\pi }{4}$ (III четверть) — нет. Серия $\frac{\pi }{3}+\pi k$ даёт точки $\frac{\pi }{3}$ (I четверть) и $\frac{4\pi }{3}$ (III четверть); на дуге только первая.

Найдём числа, соответствующие точкам на дуге: $2\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{7\pi }{4}$ и $2\pi +\frac{\pi }{3}=\frac{7\pi }{3}$.

Проверим соседние значения. Для серии $-\frac{\pi }{4}+2\pi k$: $-\frac{\pi }{4}<\frac{3\pi }{2}$ и $\frac{15\pi }{4}>3\pi$. Для серии $\frac{\pi }{3}+\pi k$: $\frac{4\pi }{3}=\frac{8\pi }{6}<\frac{9\pi }{6}=\frac{3\pi }{2}$ и $\frac{10\pi }{3}>3\pi$. Серия $-\frac{3\pi }{4}+2\pi k$ отрезок пропускает: $\frac{5\pi }{4}<\frac{6\pi }{4}=\frac{3\pi }{2}$, а $\frac{13\pi }{4}>\frac{12\pi }{4}=3\pi$.

Ответ: а) $-\frac{\pi }{4}+2\pi k$, $-\frac{3\pi }{4}+2\pi k$, $\frac{\pi }{3}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{7\pi }{4}$; $\frac{7\pi }{3}$.