ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) В левой части стоит дробь, поэтому знаменатель не должен обращаться в ноль. ОДЗ:

$$\sin x\ne 0\iff x\ne \pi n,n\in \mathbb{Z}.$$

По формуле приведения $\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=\cos x$: угол $\frac{\pi }{2}$ отсчитывается от вертикальной оси, поэтому синус меняется на косинус, а при малых $x>0$ угол $\frac{\pi }{2}+x$ лежит во II четверти, где синус положителен. Уравнение принимает вид

$$\frac{1}{\sin x}=4\cos x.$$

На ОДЗ $\sin x\ne 0$, поэтому умножение обеих частей на $\sin x$ — равносильный переход. Уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}1=4\sin x\cos x,\\ \sin x\ne 0.\end{array}$$

По формуле синуса двойного угла $4\sin x\cos x=2\cdot 2\sin x\cos x=2\sin 2x$. Тогда

$$2\sin 2x=1\iff \sin 2x=\frac{1}{2}.$$

Заметим, что условие $\sin x\ne 0$ на решениях этого уравнения выполняется автоматически: если $\sin x=0$, то $\sin 2x=2\sin x\cos x=0\ne \frac{1}{2}$. Поэтому посторонних корней не появится.

Синус равен $\frac{1}{2}$ в точках $\frac{\pi }{6}$ и $\frac{5\pi }{6}$ окружности:

$$[\begin{array}{l}2x=\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ 2x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k,\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{12}+\pi k,\\ x=\frac{5\pi }{12}+\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[-\frac{15\pi }{4};-\frac{11\pi }{4}\right]$ имеет длину $\pi <2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-\frac{15\pi }{4}=-4\pi +\frac{\pi }{4}$ изображается точкой $\frac{\pi }{4}$ (середина I четверти), конец $-\frac{11\pi }{4}=-4\pi +\frac{5\pi }{4}$ — точкой $\frac{5\pi }{4}$ (середина III четверти). Дуга от начала к концу против часовой стрелки — это верхняя полуокружность между этими точками: вторая половина I четверти, II четверть и первая половина III четверти.

Каждая серия с периодом $\pi$ даёт на окружности две диаметрально противоположные точки. Серия $\frac{\pi }{12}+\pi k$ — точки $\frac{\pi }{12}$ и $\frac{13\pi }{12}$: первая лежит левее начала дуги ($\frac{\pi }{12}<\frac{3\pi }{12}=\frac{\pi }{4}$), вторая — на дуге ($\pi <\frac{13\pi }{12}<\frac{15\pi }{12}=\frac{5\pi }{4}$). Серия $\frac{5\pi }{12}+\pi k$ — точки $\frac{5\pi }{12}$ и $\frac{17\pi }{12}$: первая на дуге ($\frac{3\pi }{12}<\frac{5\pi }{12}<\frac{6\pi }{12}$), вторая — за её концом ($\frac{17\pi }{12}>\frac{15\pi }{12}$).

Найдём числа, соответствующие точкам на дуге: точке $\frac{5\pi }{12}$ соответствует $-4\pi +\frac{5\pi }{12}=-\frac{43\pi }{12}$, точке $\frac{13\pi }{12}$ — $-4\pi +\frac{13\pi }{12}=-\frac{35\pi }{12}$.

Проверим в двенадцатых долях: отрезок — это $\left[-\frac{45\pi }{12};-\frac{33\pi }{12}\right]$, и $-45<-43<-35<-33$. Соседние значения серий лежат вне отрезка: $-\frac{43\pi }{12}-\pi =-\frac{55\pi }{12}$ и $-\frac{43\pi }{12}+\pi =-\frac{31\pi }{12}$, $-\frac{35\pi }{12}-\pi =-\frac{47\pi }{12}$ и $-\frac{35\pi }{12}+\pi =-\frac{23\pi }{12}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{12}+\pi k$, $\frac{5\pi }{12}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{43\pi }{12}$; $-\frac{35\pi }{12}$.