ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле косинуса двойного угла $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$, поэтому $1-\cos 2x=2{\sin }^{2}x$. По формуле приведения $\sin (x+\pi )=-\sin x$: угол $\pi$ отсчитывается от горизонтальной оси, функция не меняется, а при малых $x>0$ угол $x+\pi$ лежит в III четверти, где синус отрицателен.

Подставим в уравнение:

$$2{\sin }^{2}x-\sqrt{3}\sin x=\sqrt{3}-2\sin x.$$

Перенесём всё в левую часть:

$$2{\sin }^{2}x+2\sin x-\sqrt{3}\sin x-\sqrt{3}=0.$$

Сгруппируем первые два и последние два слагаемых и вынесем общие множители:

$$2\sin x\left(\sin x+1\right)-\sqrt{3}\left(\sin x+1\right)=0\iff \left(\sin x+1\right)\left(2\sin x-\sqrt{3}\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=-1,\\ \sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}$$

Синус равен $-1$ только в нижней точке окружности: $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k$. Синус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$ в двух точках — в I четверти (угол $\frac{\pi }{3}$) и во II четверти (угол $\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$). Получаем

$$[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k,\\ x=\frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[\frac{3\pi }{2};3\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $\frac{3\pi }{2}$ — нижняя точка окружности, конец $3\pi =2\pi +\pi$ — левая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через IV, I и II четверти.

Все три точки решения лежат на этой дуге: нижняя совпадает с её началом, точки I и II четвертей — внутри.

Найдём соответствующие числа. Нижняя точка — начало отрезка $\frac{3\pi }{2}$. Точка I четверти — $2\pi +\frac{\pi }{3}=\frac{7\pi }{3}$. Точка II четверти — $2\pi +\frac{2\pi }{3}=\frac{8\pi }{3}$.

Проверим, что другие значения серий не попадают на отрезок. Для серии $-\frac{\pi }{2}+2\pi k$ соседние значения $-\frac{\pi }{2}<\frac{3\pi }{2}$ и $\frac{7\pi }{2}>3\pi$. Для серии $\frac{\pi }{3}+2\pi k$: $\frac{\pi }{3}<\frac{3\pi }{2}$ и $\frac{13\pi }{3}>3\pi$. Для серии $\frac{2\pi }{3}+2\pi k$: $\frac{2\pi }{3}<\frac{3\pi }{2}$ и $\frac{14\pi }{3}>3\pi$.

Ответ: а) $-\frac{\pi }{2}+2\pi k$, $\frac{\pi }{3}+2\pi k$, $\frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{3\pi }{2}$; $\frac{7\pi }{3}$; $\frac{8\pi }{3}$.