ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле приведения $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$: угол $\frac{\pi }{2}$ отсчитывается от вертикальной оси, поэтому синус меняется на косинус, а при малых $x>0$ угол $\frac{\pi }{2}-x$ лежит в I четверти, где синус положителен. Значит, $2{\sin }^2\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=2{\cos }^{2}x$.

По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Уравнение принимает вид

$$2{\cos }^{2}x+2\sin x\cos x=0.$$

Вынесем общий множитель $2\cos x$ за скобки:

$$2\cos x\left(\cos x+\sin x\right)=0\iff [\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \cos x+\sin x=0.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ — это верхняя и нижняя точки окружности.

Второе уравнение — однородное первой степени. Покажем, что на его решениях $\cos x\ne 0$. Если $\cos x=0$, то из уравнения и $\sin x=0$, но синус и косинус одного угла не могут одновременно равняться нулю, так как ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Значит, деление обеих частей на $\cos x$ — равносильный переход:

$$1+\mathrm{tg}x=0\iff \mathrm{tg}x=-1\iff x=-\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Итак,

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+\pi k,\\ x=-\frac{\pi }{4}+\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[3\pi ;\frac{9\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{9\pi }{2}-3\pi =\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $3\pi =2\pi +\pi$ — левая точка окружности, конец $\frac{9\pi }{2}=4\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через III, IV и I четверти.

Серия $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ даёт нижнюю и верхнюю точки — обе на дуге (верхняя совпадает с концом). Серия $x=-\frac{\pi }{4}+\pi k$ даёт две диаметрально противоположные точки: в IV четверти (угол $-\frac{\pi }{4}$) и во II четверти (угол $\frac{3\pi }{4}$). На дуге лежит только точка IV четверти.

Найдём числа, соответствующие отмеченным точкам. Нижняя точка — $4\pi -\frac{\pi }{2}=\frac{7\pi }{2}$, верхняя — конец отрезка $\frac{9\pi }{2}$, точка IV четверти — $4\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{15\pi }{4}$.

Проверим соседние значения. Для серии $\frac{\pi }{2}+\pi k$: $\frac{7\pi }{2}-\pi =\frac{5\pi }{2}<3\pi$ и $\frac{9\pi }{2}+\pi =\frac{11\pi }{2}>\frac{9\pi }{2}$. Для серии $-\frac{\pi }{4}+\pi k$: $\frac{15\pi }{4}-\pi =\frac{11\pi }{4}<\frac{12\pi }{4}=3\pi$ и $\frac{15\pi }{4}+\pi =\frac{19\pi }{4}>\frac{18\pi }{4}=\frac{9\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$, $-\frac{\pi }{4}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{7\pi }{2}$; $\frac{15\pi }{4}$; $\frac{9\pi }{2}$.