ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Синус — нечётная функция, поэтому $\sin (x-\pi )=-\sin (\pi -x)$, а по формуле приведения $\sin (\pi -x)=\sin x$ (угол $\pi -x$ при малых $x>0$ лежит во II четверти, где синус положителен). Значит, $\sin (x-\pi )=-\sin x$.

Из основного тригонометрического тождества ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ выразим ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$. Подставим оба выражения в уравнение:

$$2\left(1-{\sin }^{2}x\right)-\sin x-1=0\iff 2-2{\sin }^{2}x-\sin x-1=0\iff -2{\sin }^{2}x-\sin x+1=0.$$

Умножим обе части на $-1$:

$$2{\sin }^{2}x+\sin x-1=0.$$

Получилось квадратное уравнение относительно $\sin x$. Сделаем замену $t=\sin x$, где $-1⩽t⩽1$ (синус принимает значения только из этого промежутка):

$$2t^2+t-1=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=1^2-4\cdot 2\cdot (-1)=1+8=9=3^2.$$

Тогда

$$t_1=\frac{-1-3}{2\cdot 2}=-1,t_2=\frac{-1+3}{2\cdot 2}=\frac{1}{2}.$$

Оба корня лежат в промежутке $[-1;1]$, поэтому оба годятся. Сделаем обратную замену:

$$[\begin{array}{l}\sin x=-1,\\ \sin x=\frac{1}{2}.\end{array}$$

Синус равен $-1$ только в нижней точке окружности: $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k$. Синус равен $\frac{1}{2}$ в двух точках — в I четверти (угол $\frac{\pi }{6}$) и во II четверти (угол $\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$). Получаем

$$[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k,\\ x=\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[\frac{5\pi }{2};4\pi \right]$ имеет длину $4\pi -\frac{5\pi }{2}=\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $\frac{5\pi }{2}=2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка окружности, конец $4\pi$ — правая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через II, III и IV четверти.

Нижняя точка (серия $-\frac{\pi }{2}+2\pi k$) лежит на дуге. Точка II четверти (серия $\frac{5\pi }{6}+2\pi k$) тоже лежит на дуге. Точка I четверти (серия $\frac{\pi }{6}+2\pi k$) дугой не покрыта.

Найдём числа, соответствующие точкам на дуге. Точке II четверти соответствует $2\pi +\frac{5\pi }{6}=\frac{17\pi }{6}$, нижней точке — $4\pi -\frac{\pi }{2}=\frac{7\pi }{2}$.

Проверим соседние значения. Для серии $\frac{5\pi }{6}+2\pi k$: $\frac{5\pi }{6}<\frac{5\pi }{2}$ и $\frac{29\pi }{6}>\frac{24\pi }{6}=4\pi$. Для серии $-\frac{\pi }{2}+2\pi k$: $\frac{3\pi }{2}<\frac{5\pi }{2}$ и $\frac{11\pi }{2}>4\pi$. Серия $\frac{\pi }{6}+2\pi k$ отрезок пропускает: $\frac{13\pi }{6}<\frac{15\pi }{6}=\frac{5\pi }{2}$, а $\frac{25\pi }{6}>\frac{24\pi }{6}=4\pi$.

Ответ: а) $-\frac{\pi }{2}+2\pi k$, $\frac{\pi }{6}+2\pi k$, $\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{17\pi }{6}$; $\frac{7\pi }{2}$.