ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Упростим первое слагаемое. По формуле приведения $\sin (x+\pi )=-\sin x$: угол $\pi$ отсчитывается от горизонтальной оси, поэтому синус остаётся синусом, а при малых $x>0$ угол $x+\pi$ лежит в III четверти, где синус отрицателен. При возведении в квадрат минус пропадает:

$${\sin }^2(x+\pi )=(-\sin x{)}^2={\sin }^{2}x.$$

Упростим второе слагаемое. Косинус — чётная функция, $\cos (-\alpha )=\cos \alpha$, поэтому

$$\cos \left(-\frac{3\pi }{2}-x\right)=\cos \left(-\left(\frac{3\pi }{2}+x\right)\right)=\cos \left(\frac{3\pi }{2}+x\right).$$

По формуле приведения $\cos \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)=\sin x$: угол $\frac{3\pi }{2}$ отсчитывается от вертикальной оси, поэтому косинус меняется на синус, а при малых $x>0$ угол $\frac{3\pi }{2}+x$ лежит в IV четверти, где косинус положителен.

Уравнение принимает вид

$${\sin }^{2}x-\sin x=0.$$

Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$$\sin x\left(\sin x-1\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю (оба множителя определены при всех $x$):

$$[\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \sin x=1.\end{array}$$

Синус равен нулю в правой и левой точках единичной окружности, то есть при $x=\pi k$. Синус равен единице только в верхней точке окружности, то есть при $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k$. Получаем

$$[\begin{array}{l}x=\pi k,\\ x=\frac{\pi }{2}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[-\frac{7\pi }{2};-2\pi \right]$ имеет длину $-2\pi +\frac{7\pi }{2}=\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $-\frac{7\pi }{2}=-4\pi +\frac{\pi }{2}$ изображается верхней точкой окружности, конец $-2\pi$ — правой точкой. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим II, III и IV четверти.

Серия $x=\pi k$ даёт левую и правую точки окружности — обе лежат на выделенной дуге (правая совпадает с её концом). Серия $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k$ даёт верхнюю точку — это начало дуги.

Найдём числа, соответствующие отмеченным точкам. Верхняя точка — это начало отрезка $-\frac{7\pi }{2}$. Левая точка — $-4\pi +\pi =-3\pi$. Правая точка — конец отрезка $-2\pi$.

Проверим соседние значения серий. Для серии $x=\pi k$: $-3\pi -\pi =-4\pi <-\frac{7\pi }{2}$ и $-2\pi +\pi =-\pi >-2\pi$ — вне отрезка. Для серии $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k$: $-\frac{7\pi }{2}-2\pi =-\frac{11\pi }{2}<-\frac{7\pi }{2}$ и $-\frac{7\pi }{2}+2\pi =-\frac{3\pi }{2}>-2\pi$ — тоже вне отрезка.

Ответ: а) $\pi k$, $\frac{\pi }{2}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{7\pi }{2}$; $-3\pi$; $-2\pi$.