ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

По формуле приведения $\cos \left(\frac{3\pi }{2}-\alpha \right)=-\sin \alpha$: угол $\frac{3\pi }{2}$ отсчитывается от вертикальной оси, поэтому косинус меняется на синус, а при малых $\alpha >0$ угол $\frac{3\pi }{2}-\alpha$ лежит в III четверти, где косинус отрицателен. При $\alpha =\frac{x}{2}$ получаем

$$\cos \left(\frac{3\pi }{2}-\frac{x}{2}\right)=-\sin \frac{x}{2},$$

и уравнение принимает вид

$$\sin x-\sqrt{3}\sin \frac{x}{2}=0.$$

Угол $x$ вдвое больше угла $\frac{x}{2}$, поэтому по формуле синуса двойного угла $\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$. Подставим и вынесем $\sin \frac{x}{2}$ за скобки:

$$2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}-\sqrt{3}\sin \frac{x}{2}=0\iff \sin \frac{x}{2}\left(2\cos \frac{x}{2}-\sqrt{3}\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin \frac{x}{2}=0,\\ \cos \frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}\frac{x}{2}=\pi k,\\ \frac{x}{2}=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi k\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=2\pi k,\\ x=\pm \frac{\pi }{3}+4\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

Заметим, что при умножении на $2$ период второй серии тоже удваивается и становится равным $4\pi$.

б) Отрезок $[8\pi ;11\pi ]$ имеет длину $3\pi >2\pi$, поэтому отбираем корни двойными неравенствами. Для каждой серии разделим неравенство на $\pi >0$ и найдём подходящие целые $k$.

Серия $x=2\pi k$:

$$8\pi ⩽2\pi k⩽11\pi \iff 4⩽k⩽5,5.$$

Подходят $k=4$ и $k=5$, им соответствуют $x=8\pi$ и $x=10\pi$.

Серия $x=\frac{\pi }{3}+4\pi k$:

$$8\pi ⩽\frac{\pi }{3}+4\pi k⩽11\pi \iff \frac{23}{3}⩽4k⩽\frac{32}{3}\iff \frac{23}{12}⩽k⩽\frac{32}{12}.$$

Так как $\frac{23}{12}=1\frac{11}{12}$ и $\frac{32}{12}=2\frac{8}{12}$, подходит только $k=2$, ему соответствует $x=\frac{\pi }{3}+8\pi =\frac{25\pi }{3}$.

Серия $x=-\frac{\pi }{3}+4\pi k$:

$$8\pi ⩽-\frac{\pi }{3}+4\pi k⩽11\pi \iff \frac{25}{3}⩽4k⩽\frac{34}{3}\iff \frac{25}{12}⩽k⩽\frac{34}{12}.$$

Так как $\frac{25}{12}=2\frac{1}{12}$ и $\frac{34}{12}=2\frac{10}{12}$, целых $k$ в этом промежутке нет: эта серия корней на отрезке не даёт.

На отрезке лежат $8\pi$, $\frac{25\pi }{3}$, $10\pi$.

Ответ: а) $2\pi k$, $\pm \frac{\pi }{3}+4\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $8\pi$; $\frac{25\pi }{3}$; $10\pi$.