ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и логарифмы

Разбор — 2 балла

а) Логарифм определён при положительном аргументе: $\sqrt{3}\cos x+\sin 2x+6>0$.

По определению логарифма ${\log }_{6}A=1$ равносильно $A=6^1=6$. Если аргумент равен $6$, он автоматически положителен, поэтому условие ОДЗ отдельно проверять не нужно, и уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}\sqrt{3}\cos x+\sin 2x+6=6,\\ \sqrt{3}\cos x+\sin 2x+6>0\end{array}\iff \sqrt{3}\cos x+\sin 2x=0.$$

Распишем синус двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$ и вынесем $\cos x$ за скобки:

$$\sqrt{3}\cos x+2\sin x\cos x=0\iff \cos x\left(\sqrt{3}+2\sin x\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+\pi k,\\ x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

Серия $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ — верхняя и нижняя точки окружности, серия $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k$ — точка IV четверти, серия $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ — точка III четверти.

б) Отберём корни на отрезке $\left[\pi ;\frac{5\pi }{2}\right]$ с помощью единичной окружности. Число $\pi$ отвечает левой точке окружности, число $\frac{5\pi }{2}=2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхней. Длина отрезка $\frac{3\pi }{2}$, поэтому дуга идёт от левой точки против часовой стрелки через нижнюю ($\frac{3\pi }{2}$) и правую ($2\pi$) до верхней и покрывает III, IV и I четверти. Все четыре точки решения (верхняя, нижняя, III и IV четверти) лежат на дуге.

Найдём соответствующие числа: нижняя точка — $\frac{3\pi }{2}$, верхняя — $\frac{5\pi }{2}$ (правый конец отрезка), точка III четверти — $\pi +\frac{\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}$, точка IV четверти — $2\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{3}$.

Проверим соседние значения: для серии $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ это $\frac{\pi }{2}<\pi$ и $\frac{7\pi }{2}>\frac{5\pi }{2}$; для серии $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ — $-\frac{2\pi }{3}<\pi$ и $\frac{10\pi }{3}>\frac{5\pi }{2}$; для серии $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k$ — $-\frac{\pi }{3}<\pi$ и $\frac{11\pi }{3}>\frac{5\pi }{2}$. Все они вне отрезка.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$, $-\frac{\pi }{3}+2\pi k$, $-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{4\pi }{3}$; $\frac{3\pi }{2}$; $\frac{5\pi }{3}$; $\frac{5\pi }{2}$.