ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — показательные уравнения

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

По свойству степени ${\left(a^m\right)}^n=a^{mn}$ запишем $8^x={\left(2^3\right)}^x={\left(2^x\right)}^3$ и $4^x={\left(2^2\right)}^x={\left(2^x\right)}^2$. Сделаем замену $t=2^x$. Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $t>0$. Получаем

$$t^3-3t^2-t+3=0.$$

Сгруппируем первые два и последние два слагаемых:

$$t^2(t-3)-(t-3)=0\iff (t-3)\left(t^2-1\right)=0\iff (t-3)(t-1)(t+1)=0.$$

Здесь мы разложили $t^2-1$ по формуле разности квадратов. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: $t=3$, $t=1$ или $t=-1$. Значение $t=-1$ не удовлетворяет условию $t>0$.

Сделаем обратную замену.

Если $t=1$, то $2^x=1=2^0$, и в силу монотонности показательной функции $x=0$.

Если $t=3$, то $2^x=3$, и по определению логарифма $x={\log }_{2}3$.

б) Корень $x=0$ меньше $1,5$ и на отрезок $[1,5;3]$ не попадает.

Для корня $x={\log }_{2}3$ проверим двойное неравенство $1,5⩽{\log }_{2}3⩽3$. Запишем концы отрезка как логарифмы по основанию $2$:

$$1,5={\log }_2{2}^{1,5}={\log }_2\left(2\sqrt{2}\right),3={\log }_2{2}^3={\log }_{2}8.$$

Здесь $2^{1,5}=2^1\cdot 2^{0,5}=2\sqrt{2}$. Логарифм по основанию $2>1$ возрастает, поэтому неравенство равносильно сравнению аргументов:

$$2\sqrt{2}⩽3⩽8.$$

Правая часть очевидна. Для левой сравним положительные числа $2\sqrt{2}$ и $3$ через их квадраты: ${\left(2\sqrt{2}\right)}^2=8<9=3^2$, значит, $2\sqrt{2}<3$.

Двойное неравенство выполнено, поэтому корень $x={\log }_{2}3$ лежит на отрезке $[1,5;3]$.

Ответ: а) $0$; ${\log }_{2}3$; б) ${\log }_{2}3$.