ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и логарифмы

Разбор — 2 балла

а) Логарифм определён только при положительном аргументе, поэтому ОДЗ: $\sin 2x>0$ и $\sqrt{2}\cos x>0$.

Функция $y={\log }_{2}t$ возрастает (основание $2>1$), поэтому при положительных $a$ и $b$ равенство ${\log }_{2}a={\log }_{2}b$ равносильно $a=b$. Если аргументы равны, достаточно потребовать положительность одного из них — второй равен ему и тоже будет положителен. Поэтому уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}\sin 2x=\sqrt{2}\cos x,\\ \sqrt{2}\cos x>0.\end{array}$$

Неравенство $\sqrt{2}\cos x>0$ равносильно $\cos x>0$. В уравнении распишем синус двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$ и перенесём всё в левую часть:

$$\{\begin{array}{l}2\sin x\cos x-\sqrt{2}\cos x=0,\\ \cos x>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\cos x\left(2\sin x-\sqrt{2}\right)=0,\\ \cos x>0.\end{array}$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Множитель $\cos x$ по второму условию системы положителен и нулю не равен, поэтому остаётся $2\sin x-\sqrt{2}=0$:

$$\{\begin{array}{l}\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2},\\ \cos x>0.\end{array}$$

Уравнение $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ имеет две серии решений:

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+2\pi k,\\ x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

На единичной окружности это точки в I и II четвертях. Условие $\cos x>0$ выделяет правую половину окружности.

Точка $\frac{\pi }{4}$ лежит в правой половине: $\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}>0$. Точка $\frac{3\pi }{4}$ — в левой: $\cos \frac{3\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}<0$, эта серия не подходит. Итак,

$$x=\frac{\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[-\pi ;\frac{\pi }{2}\right]$ с помощью единичной окружности. Число $-\pi$ отвечает левой точке окружности, число $\frac{\pi }{2}$ — верхней. Длина отрезка $\frac{3\pi }{2}$, поэтому дуга идёт от левой точки против часовой стрелки через нижнюю ($-\frac{\pi }{2}$) и правую ($0$) до верхней и покрывает III, IV и I четверти.

Точка серии $x=\frac{\pi }{4}+2\pi k$ лежит в I четверти — она на дуге.

Правая точка дуги — это $0$, значит, искомый корень $0+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}$. Соседние значения серии $\frac{\pi }{4}-2\pi =-\frac{7\pi }{4}<-\pi$ и $\frac{\pi }{4}+2\pi =\frac{9\pi }{4}>\frac{\pi }{2}$ лежат вне отрезка.

Ответ: а) $\frac{\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{\pi }{4}$.