ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — показательные уравнения

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Приведём все степени к основанию $3$, пользуясь свойствами ${\left(a^m\right)}^n=a^{mn}$ и $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$:

$$27^x={\left(3^3\right)}^x={\left(3^x\right)}^3,3^{x+1}=3\cdot 3^x,3^{5-x}=3^5\cdot 3^{-x}=\frac{243}{3^x}.$$

Так как $28\cdot 3=84$, уравнение принимает вид

$${\left(3^x\right)}^3-84\cdot 3^x+\frac{243}{3^x}=0.$$

Сделаем замену $t=3^x$. Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $t>0$:

$$t^3-84t+\frac{243}{t}=0.$$

Умножим обе части на $t>0$ (при $t\ne 0$ это равносильный переход):

$$t^4-84t^2+243=0.$$

Это биквадратное уравнение. Обозначим $u=t^2$, где $u>0$:

$$u^2-84u+243=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=84^2-4\cdot 243=7056-972=6084=78^2.$$

Тогда

$$u_1=\frac{84-78}{2}=3,u_2=\frac{84+78}{2}=81.$$

Оба корня положительны. Так как $t>0$, из $t^2=3$ получаем $t=\sqrt{3}$, а из $t^2=81$ получаем $t=9$.

Сделаем обратную замену. Функция $y=3^x$ монотонна, поэтому степени с одинаковым основанием равны только при равных показателях:

$$3^x=\sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}}\iff x=\frac{1}{2};3^x=9=3^2\iff x=2.$$

б) Сравним корни с концами отрезка $\left[\sqrt{3};{\log }_{2}5\right]$.

Корень $x=\frac{1}{2}$: так как $\sqrt{3}>\sqrt{1}=1>\frac{1}{2}$, этот корень левее отрезка и не подходит.

Корень $x=2$. Сравним $2$ и $\sqrt{3}$: оба числа положительны, поэтому можно сравнить их квадраты: $2^2=4>3={\left(\sqrt{3}\right)}^2$, значит, $2>\sqrt{3}$.

Сравним $2$ и ${\log }_{2}5$. Запишем $2={\log }_{2}4$. Логарифм по основанию $2>1$ возрастает, а $4<5$, поэтому ${\log }_{2}4<{\log }_{2}5$, то есть $2<{\log }_{2}5$.

Итак, $\sqrt{3}<2<{\log }_{2}5$, и корень $x=2$ лежит на отрезке.

Ответ: а) $\frac{1}{2}$; $2$; б) $2$.