ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Синус имеет период $2\pi$, поэтому

$$\sin \left(\frac{7\pi }{2}+x\right)=\sin \left(\frac{7\pi }{2}-2\pi +x\right)=\sin \left(\frac{3\pi }{2}+x\right).$$

По формуле приведения угол $\frac{3\pi }{2}$ отсчитывается от вертикальной оси, поэтому синус меняется на косинус. При малых $x>0$ угол $\frac{3\pi }{2}+x$ лежит в IV четверти, где синус отрицателен, значит, $\sin \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)=-\cos x$.

Уравнение принимает вид

$$-2\cos x\sin x=\sqrt{3}\cos x\iff 2\sin x\cos x+\sqrt{3}\cos x=0\iff \cos x\left(2\sin x+\sqrt{3}\right)=0.$$

Делить обе части на $\cos x$ нельзя: так потерялись бы корни, при которых $\cos x=0$. Поэтому раскладываем на множители. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}$$

Решение первого уравнения: $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Решения второго уравнения: $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi n$ и $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi m$, $n,m\in \mathbb{Z}$.

б) Отберём корни на отрезке $[-7\pi ;-6\pi ]$ с помощью двойных неравенств. Для каждой серии запишем условие попадания на отрезок, разделим на $\pi >0$ и найдём подходящие целые значения параметра.

Серия $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$:

$$-7\pi ⩽\frac{\pi }{2}+\pi k⩽-6\pi \iff -7-\frac{1}{2}⩽k⩽-6-\frac{1}{2}\iff -7,5⩽k⩽-6,5.$$

Единственное целое $k=-7$, ему соответствует $x=\frac{\pi }{2}-7\pi =-\frac{13\pi }{2}$.

Серия $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi n$:

$$-7\pi ⩽-\frac{\pi }{3}+2\pi n⩽-6\pi \iff -\frac{20}{3}⩽2n⩽-\frac{17}{3}\iff -\frac{10}{3}⩽n⩽-\frac{17}{6}.$$

Так как $-\frac{10}{3}=-3\frac{1}{3}$ и $-\frac{17}{6}=-2\frac{5}{6}$, единственное целое $n=-3$, ему соответствует $x=-\frac{\pi }{3}-6\pi =-\frac{19\pi }{3}$.

Серия $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi m$:

$$-7\pi ⩽-\frac{2\pi }{3}+2\pi m⩽-6\pi \iff -\frac{19}{3}⩽2m⩽-\frac{16}{3}\iff -\frac{19}{6}⩽m⩽-\frac{8}{3}.$$

Так как $-\frac{19}{6}=-3\frac{1}{6}$ и $-\frac{8}{3}=-2\frac{2}{3}$, единственное целое $m=-3$, ему соответствует $x=-\frac{2\pi }{3}-6\pi =-\frac{20\pi }{3}$.

Проверим себя по окружности. Отрезок начинается в левой точке ($-7\pi$) и идёт против часовой стрелки через нижнюю ($-\frac{13\pi }{2}$) до правой ($-6\pi$), то есть покрывает III и IV четверти. На этой дуге лежат нижняя точка, точка III четверти и точка IV четверти — ровно три найденных корня.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$, $-\frac{\pi }{3}+2\pi k$, $-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{20\pi }{3}$; $-\frac{13\pi }{2}$; $-\frac{19\pi }{3}$.