ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Разделим обе части на $\sqrt{5}\ne 0$. Так как $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}}=\sqrt{3}$, получаем

$$\cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x+1=0.$$

Применим формулы двойного угла $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$ и $\sin 2x=2\sin x\cos x$:

$$2{\cos }^{2}x-1+2\sqrt{3}\sin x\cos x+1=0\iff 2{\cos }^{2}x+2\sqrt{3}\sin x\cos x=0.$$

Разделим на $2$ и вынесем $\cos x$ за скобки:

$$\cos x\left(\cos x+\sqrt{3}\sin x\right)=0\iff [\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \cos x+\sqrt{3}\sin x=0.\end{array}$$

Первое уравнение: $\cos x=0$, $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$ — верхняя и нижняя точки окружности.

Второе уравнение — однородное первой степени. Если $\sin x=0$, то из него и $\cos x=0$, но синус и косинус одного угла не могут одновременно равняться нулю, так как ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Значит, на решениях $\sin x\ne 0$, и деление обеих частей на $\sin x$ — равносильный переход:

$$\mathrm{ctg}x+\sqrt{3}=0\iff \mathrm{ctg}x=-\sqrt{3}\iff x=\frac{5\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Здесь $\mathrm{arcctg}\left(-\sqrt{3}\right)=\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$. Эту серию можно записать и как $x=-\frac{\pi }{6}+\pi k$: она даёт две диаметрально противоположные точки окружности — во II четверти ($\frac{5\pi }{6}$) и в IV четверти ($-\frac{\pi }{6}$).

б) Отберём корни на отрезке $\left[3\pi ;\frac{9\pi }{2}\right]$. Число $3\pi$ отвечает левой точке окружности, число $\frac{9\pi }{2}=4\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхней. Длина отрезка $\frac{3\pi }{2}$, поэтому дуга идёт от левой точки против часовой стрелки через нижнюю ($\frac{7\pi }{2}$) и правую ($4\pi$) до верхней и покрывает III, IV и I четверти.

Из серии $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ на отрезок попадают нижняя точка $\frac{7\pi }{2}$ и верхняя $\frac{9\pi }{2}$ (правый конец): соседние значения $\frac{5\pi }{2}<3\pi$ и $\frac{11\pi }{2}>\frac{9\pi }{2}$.

Из серии $x=\frac{5\pi }{6}+\pi k$ точка II четверти дугой не покрыта, а точка IV четверти на дуге: это $4\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{23\pi }{6}$. Соседние значения серии $\frac{23\pi }{6}-\pi =\frac{17\pi }{6}<\frac{18\pi }{6}=3\pi$ и $\frac{23\pi }{6}+\pi =\frac{29\pi }{6}>\frac{27\pi }{6}=\frac{9\pi }{2}$ лежат вне отрезка.

На отрезке лежат $\frac{7\pi }{2}$, $\frac{23\pi }{6}$, $\frac{9\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$, $\frac{5\pi }{6}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{7\pi }{2}$; $\frac{23\pi }{6}$; $\frac{9\pi }{2}$.