ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Сгруппируем слагаемые попарно и вынесем из первой пары ${\cos }^{2}x$:

$$\left(2{\cos }^{3}x+\sqrt{3}{\cos }^{2}x\right)+\left(2\cos x+\sqrt{3}\right)={\cos }^{2}x\left(2\cos x+\sqrt{3}\right)+\left(2\cos x+\sqrt{3}\right).$$

Теперь общий множитель $2\cos x+\sqrt{3}$ вынесем за скобки:

$$\left(2\cos x+\sqrt{3}\right)\left({\cos }^{2}x+1\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Но ${\cos }^{2}x⩾0$, поэтому ${\cos }^{2}x+1⩾1>0$, и второй множитель нулю не равен ни при каком $x$. Значит, уравнение равносильно

$$2\cos x+\sqrt{3}=0\iff \cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Так как $\arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$, получаем

$$x=\pm \frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

На окружности это точки во II четверти ($\frac{5\pi }{6}$) и в III четверти ($-\frac{5\pi }{6}$).

б) Отберём корни на отрезке $\left[-2\pi ;-\frac{\pi }{2}\right]$. Число $-2\pi$ отвечает правой точке окружности, число $-\frac{\pi }{2}$ — нижней. Длина отрезка $\frac{3\pi }{2}$, поэтому дуга идёт от правой точки против часовой стрелки через верхнюю ($-\frac{3\pi }{2}$) и левую ($-\pi$) до нижней и покрывает I, II и III четверти. Обе точки решения лежат на дуге.

Из серии $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ на отрезок попадает только $-2\pi +\frac{5\pi }{6}=-\frac{7\pi }{6}$: соседние значения $-\frac{19\pi }{6}<-2\pi$ и $\frac{5\pi }{6}>-\frac{\pi }{2}$.

Из серии $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ на отрезок попадает только $-\frac{5\pi }{6}$: соседние значения $-\frac{17\pi }{6}<-\frac{12\pi }{6}=-2\pi$ и $\frac{7\pi }{6}>-\frac{\pi }{2}$.

На отрезке лежат $-\frac{7\pi }{6}$, $-\frac{5\pi }{6}$.

Ответ: а) $\pm \frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{7\pi }{6}$; $-\frac{5\pi }{6}$.