ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Синус — нечётная функция, поэтому $\sin (x-\pi )=-\sin (\pi -x)$, а по формуле приведения $\sin (\pi -x)=\sin x$. Значит, $\sin (x-\pi )=-\sin x$. По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Уравнение принимает вид

$$2\sin x\cos x-\sqrt{3}\sin x=0\iff \sin x\left(2\cos x-\sqrt{3}\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\pi k,\\ x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

Серия $x=\pi k$ — правая и левая точки окружности, серия $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ — точка I четверти, серия $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ — точка IV четверти.

б) Отберём корни на отрезке $\left[-\frac{7\pi }{2};-2\pi \right]$ с помощью единичной окружности. Число $-\frac{7\pi }{2}=-4\pi +\frac{\pi }{2}$ отвечает верхней точке окружности, число $-2\pi$ — правой. Длина отрезка $\frac{3\pi }{2}$, поэтому дуга идёт от верхней точки против часовой стрелки через левую ($-3\pi$) и нижнюю ($-\frac{5\pi }{2}$) до правой и покрывает II, III и IV четверти.

Серия $x=\pi k$: правая и левая точки — обе на дуге. Точка I четверти серии $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ дугой не покрыта. Точка IV четверти серии $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ на дуге.

Найдём соответствующие числа: левая точка — $-3\pi$, правая — $-2\pi$ (правый конец отрезка), точка IV четверти — $-2\pi -\frac{\pi }{6}=-\frac{13\pi }{6}$.

Проверим соседние значения. Для серии $x=\pi k$: $-4\pi <-\frac{7\pi }{2}$ и $-\pi >-2\pi$. Для серии $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$: $-\frac{25\pi }{6}<-\frac{21\pi }{6}=-\frac{7\pi }{2}$ и $-\frac{\pi }{6}>-2\pi$. Для серии $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ ближайшие к отрезку значения $-\frac{23\pi }{6}<-\frac{21\pi }{6}$ и $-\frac{11\pi }{6}>-2\pi$ — на отрезок она ничего не даёт.

Ответ: а) $\pi k$, $\pm \frac{\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-3\pi$; $-\frac{13\pi }{6}$; $-2\pi$.