ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Распишем синус суммы по формуле $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$:

$$\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\sin x\cos \frac{\pi }{6}+\cos x\sin \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x.$$

Значит, $2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}\sin x+\cos x$. Подставим в уравнение:

$$\sqrt{3}\sin x+\cos x-2\sqrt{3}{\cos }^{2}x=\cos x-2\sqrt{3}\iff \sqrt{3}\sin x-2\sqrt{3}{\cos }^{2}x+2\sqrt{3}=0.$$

Разделим обе части на $\sqrt{3}\ne 0$:

$$\sin x-2{\cos }^{2}x+2=0.$$

По основному тригонометрическому тождеству ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$:

$$\sin x-2\left(1-{\sin }^{2}x\right)+2=0\iff 2{\sin }^{2}x+\sin x=0\iff \sin x\left(2\sin x+1\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \sin x=-\frac{1}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\pi k,\\ x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

Серия $x=\pi k$ — правая и левая точки окружности, серия $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ — точка IV четверти, серия $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ — точка III четверти.

б) Отберём корни на отрезке $\left[-\frac{5\pi }{2};-\pi \right]$. Число $-\frac{5\pi }{2}$ отвечает нижней точке окружности, число $-\pi$ — левой. Длина отрезка $\frac{3\pi }{2}$, поэтому дуга идёт от нижней точки против часовой стрелки через правую ($-2\pi$) и верхнюю ($-\frac{3\pi }{2}$) до левой и покрывает IV, I и II четверти.

Из серии $x=\pi k$ на отрезок попадают правая точка $-2\pi$ и левая $-\pi$ (правый конец): соседние значения $-3\pi <-\frac{5\pi }{2}$ и $0>-\pi$.

Из серии $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ на отрезок попадает только точка IV четверти $-2\pi -\frac{\pi }{6}=-\frac{13\pi }{6}$: соседние значения $-\frac{25\pi }{6}<-\frac{15\pi }{6}=-\frac{5\pi }{2}$ и $-\frac{\pi }{6}>-\pi$.

Серия $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ даёт точку III четверти, которую дуга не покрывает: $-\frac{17\pi }{6}<-\frac{15\pi }{6}=-\frac{5\pi }{2}$, а следующее значение $-\frac{5\pi }{6}>-\pi$.

На отрезке лежат $-\frac{13\pi }{6}$, $-2\pi$, $-\pi$.

Ответ: а) $\pi k$, $-\frac{\pi }{6}+2\pi k$, $-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{13\pi }{6}$; $-2\pi$; $-\pi$.